混整數規劃(Mixed Integer Programming) 是線性規劃( Linear Programming )，加了整數的決策變數。其化簡標準形式可以寫成 $$  \begin{array}{l}\text{ min } c_{\mathcal{I}}x_\mathcal{I} + c_{\mathcal{R}}x_\mathcal{R} \\ \text{s.t } Ax = b  \\ x  := (x_\mathcal{I} , x_\mathcal{R}) \geq 0  \\ \end{array}$$ 其中 $\mathcal{I}$ 為整數決策變數集 ，$\mathcal{R}$ 為實數決策變數集，$A$ 為已知係數 此模型已經有很多演算法可以求解詳細可以查關鍵字 branch & cut algorithm 理論上可以找到最佳決策 !! 但實務上整數規劃是 NP-Hard 問題，求解效率是議題!!，所以數學建模上我們希望 $|\mathcal{I}|$ 越小越好!! 而現實問題為何可使用整數規劃來數學建模那麼重要原因有二: ======================================== 1. 現實問題物品的數量為整數個 !! 2. 邏輯的 True , False 可以用 0 - 1 決策變數表示!! ======================================== 本文介紹一些筆者經驗常見邏輯限制式代表的意義，幫助大家更能理解如何數學建模。而對於有興趣的讀者，可以去閱讀 " Paul Williams : Model Building in Mathematical Programming " 這本書，有詳細的介紹。 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ $ (A) \text{ 從集合裡面挑選元素 }$ +++++++++++++++++++++++++++++++++++ Let $i \in I , |I| < \infty  , x_i \in \{0,1\} , cost : I \longrightarrow \mathbb{R} $ , denote $cost_i \in \

本文從淺白的角度回顧線性代數( Linear Algebra )，了解特徵值( eigenvalue )，特徵向量( eigenvector )，還有特徵多項式( Characteristic Polynomial ) 的框架，並推廣其概念，還有它在解差分方程式，微分方程式，差分方程組，微分方程組的關係。 ----------------------------------------------------------- [預備知識]    向量空間( vector space ) $V$，field over $\mathbb{C}$ ，線性獨立( linear independent )， Span ， Basis 等概念。 線性函數的定義為 $L : V \longrightarrow V$ ， $$\forall \alpha , \beta  \in \mathbb{C} , v_1 ,v_2 \in V \quad L(\alpha v_1 + \beta v_2) =\alpha L(v_1) + \beta L(v_2) $$ 其中 $L(0) = 0 \in V$ 其中 $+$ 都是$V$裡的加法，線性函數空間記做 $L \in \mathcal{L}^{V}$ 其中存在 $O \in \mathcal{L}^{V}$ 零函數 $O(V) = \{0\}$ ，即 $\forall v \in V ,  O(v) = 0 \in V $ 其中存在 $I \in \mathcal{L}^{V}$ 送到自己函數 ，即 $\forall v \in V ,  I(v) = v \in V $ ----------------------------------------------------------- [主要動機] 給定 $b \in V$ ,  $L \in \mathcal{L}^{V}$ 如何解線性系統 $L(x) = b$ ，換句話說就是構造出 $$ S_{b}:= \left\{x \in V : L(x) = b  \right\} $$ ，而 $Ker(L) := S_{0}$ ( Kernel ) 註: 構造出 $S_0$ 我們稱為解 homogeneous system ，構造出 $S