本文為筆者學習微積分，函數概念與Chain Rule 的時候，遇到的一些概念大坑。本文一一澄清一些個人看法，並分享 Chain Rule 廣義的樣子，以及對於遞迴系統該如何計算...等等看法。 [坑1 : 變數/值符號的認識] 一切從 $y = f(x)$ 開始，我們習慣把 Input 變數用"括號"刮起來，Output y 代表值，f 代表函數。或是可以想成這樣:   $$ x \overset{f}{\longrightarrow} y $$ 這種表示法概念上很嚴謹，但缺點是你必須要用三個符號 $x$，$y$，$f$ 而在微分方程領域出現這種寫法 $y = y(x)$  (把 $f$ 換成 $y$) ，這種寫法就頗簡潔，Chain Rule 通常都是這類表示法。缺點是心裡要能確實明白在哪個場合 $y$ 到底是給定的"值"還是"函數"(註: 通常大多代表函數 $y$，值的話通常會這樣寫 $y(x_{0})$,$y_{0}$) ============================================================== [Bonus] $y=y(x)$這種表示法還有一個好處，如果允許 $f$ 是一對多，那麼 $y(x)$ 就是 $y \text{ is depend on } x$ 的意思，如果你喜歡用集合論來表示可以先定義$f$ 的定義域/對應域 $$ f : X \rightarrow Y$$ 然後 $y(x)$ 可以寫成這樣 $y \in Y_{x}$，其中值域為 $$ f(X):=\bigcup_{x \in X}Y_{x} \subseteq Y$$ ============================================================== [坑2 : Input 的變數到底是哪些] 這邊舉兩個例子提醒： (Ex1) 代換法會重新改變函數的 Input 例如 : $y = f(x) = x+1$ , $ z = g(y) = 2y$ 　可以代換一下，寫成 $z = g[f(x)] = 2(x+1)$ 如果你用簡記你會發現　$y(x) , z(y) , z(y(x)) \equiv z