本文分享筆者在計算排列組合(combinatorics)時，發現並描述系統性的窮舉公式 :) 暫時命名為 $\color{red}{\text{All Different Expansion }}$ ??  (有歷史文獻名詞歡迎筆者補充) [情境/動機] 假設箱子裡面有很多種物品，種類集記做 $I$ , 每種物品 $i$ 各有 $\#_i$ 個，向量記做 $\#_{I} := (\#_{i})_{i \in I}$ $$\text{箱子裡共有 } \sum_{i \in I} \#_i  \text{ 個物品}$$    令 $T := \{1,2,3,....|T|\}$，今從箱子裡"逐一"抽取物品共 $|T|$ 次 (抽出 $|T|$ 個物品) ============================================================= $$\color{blue}{\text{形成序列 : } x_{T} := (x_{t})^{|T|}_{t=1} \in I^{|T|}} $$ 註: $x_{t}$ 代表第 $t$ 次抽到的物品 ============================================================= 以下舉個小小的例子，來說明動機~ $I := \{a,b,c,d\}$，$|T| = 4 $，且假設物品個數無上限  $\color{red}{ \forall i \in I \quad \#_{i} = \infty}$ 於是我們可以開始窮舉(brute & force)情況 ~~ $\color{green}{(1)}$  $aaaa$，$bbbb$，$cccc$，$dddd$ 代表全同的情況 $\color{green}{(2)}$  $abcd$，$bcda$，$acbd$，....  代表全異的情況，共 $4!$種 $\color{green}{(3)}$  $abad$，$cbcd$，$bcba$，....  代表二同二異(且$x_{1}=x_{3}$) $\color{green}{(4)} $ $abcb$，$adcd$，$bcac$，....  代表二同二異(且