本文介紹如何推導機率博弈遊戲(Gambling Model)，含集點卡免費遊戲機制，並統整期望值 [預備知識] 需要先了解機率母函數的概念，詳細可先看這篇: http://discoverforgottenmath.blogspot.com/2018/08/expected-ratio-of-n-trials-probability.html 定義新名詞"項值" 代表　${\text{Variable}}^{\text{Value}}$ [基本遊戲] 假設單局，玩$k$ 張卡(物件)，令樣本元/空間為 $\omega \in \Omega_{k}$，回報項值記為 $x^{Gain_k(\omega)}$，付出項值記為 $y^{Paid_k(\omega)}$，而基本遊戲機率母函數可寫為 $$ f_{k}(x,y):= \left(  \sum_{\omega \in \Omega_{k}} p_{\omega} x^{Gain_k(\omega)}y^{Paid_k(\omega)}    \right) $$ 註: 如果每張卡付出值＋回報值皆為獨立則　$$f_k(x,y) =  \left(  \sum_{\omega \in \Omega_{1}} p_{\omega} x^{Gain_1(\omega)}y^{Paid_1(\omega)}    \right)^{k}  $$ [集點機制] 當結束一局遊戲，玩 $k$ 張卡，可以有機率 $p_{b}$ 集一些點數，項值記為 $z^{Bonus(b)}$，集點機率母函數可寫為　$$ g_{k}(z) = \sum_{b \in B_k} p_{b} z^{Bonus(b)}  $$ [兌獎拉霸] 集滿 $\# \in \mathbb{N}$ 點數後，自動立即消費 $\#$點數，產生拉霸遊戲，有 $p_{j}$ 的機率可以直接獲得獎金，項值記為 $x^{\text{Jackpot}(j)}$ ，而剩下的機率，分別有機率　$p_{k}$　可以參與　$k$　張卡免費遊戲，並且免費遊戲可以有集點機制!! 註: $$\sum_{j \in J}p_{j} + \sum_{k \in K} p_{k} = 1$$ 兌獎拉霸機制的機率母函數限制式，可寫為 $

本文介紹如何利用機率母函數(Probability Generating Function) 推導  $\color{red}{獨立n 局期望比例(投資報酬率)的解析式}$，相關概念與延伸問題 [機率情境] 現實生活中，往往是有付出($Paid$) 可能會有回報($Gain$)。 設樣本元/空間記做 $\omega \in \Omega$，$|\Omega|<\infty$，單局發生機率為 $p_{\omega}$ 此時會有產生成對樣本 $(Gain(\omega),Paid(\omega))$。 代表有 $\color{red}{p_{\omega}}$ 機率，你會先付出$\color{blue}{Paid(\omega)} \neq 0$ 元，而最後會回收 $\color{blue}{Gain(\omega)}$ 元 ，當局淨收入為 $Gain(\omega)-Paid(\omega)$，單局投資報酬率為 $\frac{Gain(\omega)}{Paid(\omega)}$ 而單局期望投資報酬率為 $$\sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega}\left(\frac{Gain(\omega)}{Paid(\omega)}\right) =:  E\left[\frac{X_i}{Y_i}\right]$$ 其中 $(X_i, Y_i)$ 為隨機變數序對 : (回收值，付出值) $$(X_i,Y_i) \overset{iid}{\in} \bigg\{(Gain(\omega),Paid(\omega))  \bigg\}_{p_{\Omega}=(p_{\omega})}$$ [$n$局期望比例(投資報酬率)] 然而往往會參與 $n$ 局，投資報酬率(隨機變數)為 $ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i} $ ，目標是如何計算出 $E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right]$  ??，很明顯即使每局是獨立同分布，一般情況下，$$E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right] \neq E\left[\

本文介紹經典的"賓果 Bingo" 遊戲，機率與期望值的解析計算公式的計算概念，相關的數學建模....等等 [遊戲情境] 總共有 $n$ 個相異的號碼彩球，號碼集為 $S:=\{1,2,3,....n\}$，今玩家可以花$1$元，買$1$張賓果卡 ($5 \times 5$) 位置座標集 $Z$, $|Z|=25$，然後從$S$ 隨機均勻選擇 $25$個相異的號碼並排列到一個佇列(queue)，而開球只會開前 $m$ 顆球，$25 \leq m\leq n$，而給定獎項圖形集 $\color{red}{p \in P := \{Bingo，王，十，一_1,一_2,...,一_5  \}}$ (可自行設計) ，以及已知賠率表向量 $odds_{P}$。開完球後，把Bingo 卡上的中獎的號碼圈起來形成"中獎圖形" ===================================================== 其中獎項圖形 : "$Bingo$" 代表$25$個號碼全中 "十"代表第 $3$ 列(row)  第 $3$ 行 (column) 有中 (共$9$個號碼) "王"代表第 $1$ , $3$ , $5$ 列(row)  第 $3$ 行 (column) 有中 (共$17$個號碼) "$一_k$" 代表第 $k$ 列有中 (共$5$個號碼) ===================================================== 若中獎圖形有涵蓋獎項圖形大致會獲得，賠率 $odds_{p} \times 1 $ 元，但有些合理規則: ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ $[ 規則 1 ]$ 若獎項圖形 $p_1,p_2$ 有完全重疊$(p_1 \subseteq p_2)$，則以大圖形 $odds_{p_2}$ 賠率算 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ $$\color{green}{ 重要假設: 合理的

本文介紹格子點(Lattice) 幾何意義與多項式定理(Mutinomial Theorem) 的關係，並可協助我們理解計算一些機率問題。 [符號定義] 非負整數 / 非負實數:  $\mathbb{Z}_{\geq 0} := \{0,1,2,3,4,......\}  \subseteq [0,\infty) =: \mathbb{R}_{\geq 0}$ 離散機率向量:  $$p_{I} := (p_{i})_{i \in I} \text{ s.t } \sum_{i\in I}p_i =1 ，|I|<\infty  $$ 發生事件 $i \in I$ 的累積次數向量: $$ k_{I} := (k_i)_{i \in I} \in \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} $$ $\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}$ 就是 $|I|$ 維格子點 !! [格子點情境] 出發點定義為 $k^{start}_{I}:= \overbrace{(0,0...,0)}^{|I|}$，今發生一次 $p_{I}$ 分布隨機互斥事件，等價於"點的移動"(state transition)，數學定義如下: $$  \text{Event } i  \text{ happens }  \Longleftrightarrow  \overbrace{(\color{red}{k_i},k_{-i})}^{k^{old}_{I}}  \underset{\text{with probability }p_{i}}{\longrightarrow}   \overbrace{(\color{red}{k_i+1},k_{-i})}^{ k^{new}_{I}}    $$ PS1: 其中  $k_{-i} := (k_{i'})_{i' \in I-\{i\}}$ PS2: 不管怎麼走都在第一象限，也就是只能往右，往上，往高.... 當發生 $n$ 次獨立同分布 $p_{I}$ (iid) 的事件後，所有可能點位置在以下的集合上 $$  S_{n}(\color{red}{\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}}) :=\bigg \{k_{I} \in