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Nash Equilibrium & Best Responce Function (BRF) In Continuous Strategies

經濟學重要的賽局理論( Game Theory )領域，用數學描述人與人之間的理性互動，最重要的就是尋找奈許均衡( Nash equilibrium )，本篇介紹其數學規劃與非線性方程組!! 假設有 $p$ 名玩家(player $i$)，$i=1,2,3,4,5,....p$ ，正在玩一場遊戲(Game)~~，完全不合作，各自獨立作決策每個人有決策向量 $x_i \in \Omega_i \subseteq R^{n_i}$ (有$n_i$個決策變數) 定義長向量: $\underbrace{x = (x_1,x_2,x_3,....x_p)}_{\# \text{ of } \sum^{p}_{i=1}n_i \text{ variables }} \in \prod^{p}_{i=1} \Omega_i = \Omega $ 對於每個 player $i$ ，長向量可以寫成 $x = (x_i , x_{-i})$ ，$x_{-i}$ 代表其他人(不是 player $i$) 能做的決策向量。所有人各自作決策後，每個人都會個自的存在報酬效用函數 $f_i (x) \in \mathbb{R} $ (報酬函數皆為公開已知資訊) 假設每位玩家是理性人(會極大化自己效用) 即 $$\forall i = 1,2,3,4....p \qquad \underset{x_i \in \Omega_i}{\text{max }}f_i(x) $$ [註: 如果為合作可視為多目標規劃問題( multiobjective )，即 $x_1,x_2,...x_p$ 可以由領導人一起決定] [註: 如果為合作而且把效用加總，即目標式變成 $\sum_{i=1}^{p} f_i(x)$ ，可能對集體效益有更大的幫助，但是如何分配效益給 ( player $i$ )會是個議題，可以查關鍵字 fair optimization ] 我們可以定義每個 player i 的 Best Response Function (BRF) or Best Reponce Set $S_i(x_{-i}) \subset \Omega_i$ $$ S_i(x...

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Expected Ratio of n trials & Probability Generating Function

本文介紹如何利用機率母函數(Probability Generating Function) 推導 $\color{red}{獨立n 局期望比例(投資報酬率)的解析式}$，相關概念與延伸問題 [機率情境] 現實生活中，往往是有付出($Paid$) 可能會有回報($Gain$)。設樣本元/空間記做 $\omega \in \Omega$，$|\Omega|<\infty$，單局發生機率為 $p_{\omega}$ 此時會有產生成對樣本 $(Gain(\omega),Paid(\omega))$。代表有 $\color{red}{p_{\omega}}$ 機率，你會先付出$\color{blue}{Paid(\omega)} \neq 0$ 元，而最後會回收 $\color{blue}{Gain(\omega)}$ 元，當局淨收入為 $Gain(\omega)-Paid(\omega)$，單局投資報酬率為 $\frac{Gain(\omega)}{Paid(\omega)}$ 而單局期望投資報酬率為 $$\sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega}\left(\frac{Gain(\omega)}{Paid(\omega)}\right) =: E\left[\frac{X_i}{Y_i}\right]$$ 其中 $(X_i, Y_i)$ 為隨機變數序對 : (回收值，付出值) $$(X_i,Y_i) \overset{iid}{\in} \bigg\{(Gain(\omega),Paid(\omega)) \bigg\}_{p_{\Omega}=(p_{\omega})}$$ [$n$局期望比例(投資報酬率)] 然而往往會參與 $n$ 局，投資報酬率(隨機變數)為 $ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i} $ ，目標是如何計算出 $E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right]$ ??，很明顯即使每局是獨立同分布，一般情況下，$$E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}...

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