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Linear Regression By Using Linear Programming

當拿到一筆資料準備玩統計，往往會想要做線性迴歸( Linear Regression )，找出一個模型( mathematical model )來解釋變數間的關係，一般都是使用平方距離，但是如果我們採用絕對值距離呢?? 而剛好在工業工程( Industrial Engineering )，作業研究( Operation Research ) 領域，發展成熟的線性規劃( Linear Programming ) 恰好可以來解決，是一個跨領域的應用 !! 已經存在有許多商業或open source 軟體，如: Gurobi ， Cplex ， Xpress ， Mosek ， SCIP 可以輕易求解大型的線性規劃問題。而不僅如此也可以利用整數規劃( Integer Programming )來做特徵選擇 ( Feature Selection )，甚至可以偵測離群值( Detect Outlier ) !! 本文只介紹最小絕對值和，關於 Feature Selection , Detect Outlier 可以參考 Mixed-Integer Linear Programming Robust Regression with Feature Selection , Oleksii Omelchenko , 2010 的論文。 [Data Fitting Problem] 給定$n$筆實數型訓練資料 (training data) $\{(x^{k},y^{k})\}^{n}_{k=1} = \mathcal{D} , x^{k} =(x^{k}_1,x^{k}_2, ... , x^{k}_{p})\in \mathbb{R}^{p}$ , $y^{k} \in \mathbb{R}$ ，我們目標是想要找到一個函數 $f_{\mathcal{D}} : \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$ 使得 $\forall x \in \mathbb{R}^{p} , f_{\mathcal{D}}(x) \approx y$ ，精確來說: $$ \text{Find } f_{\mathcal{D}} \text{ such that } f_{\mathcal{D}}(x)\approx \left\{

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Chain Rule & Identity Function Trick

本文為筆者學習微積分，函數概念與Chain Rule 的時候，遇到的一些概念大坑。本文一一澄清一些個人看法，並分享 Chain Rule 廣義的樣子，以及對於遞迴系統該如何計算...等等看法。 [坑1 : 變數/值符號的認識] 一切從 $y = f(x)$ 開始，我們習慣把 Input 變數用"括號"刮起來，Output y 代表值，f 代表函數。或是可以想成這樣: $$ x \overset{f}{\longrightarrow} y $$ 這種表示法概念上很嚴謹，但缺點是你必須要用三個符號 $x$，$y$，$f$ 而在微分方程領域出現這種寫法 $y = y(x)$ (把 $f$ 換成 $y$) ，這種寫法就頗簡潔，Chain Rule 通常都是這類表示法。缺點是心裡要能確實明白在哪個場合 $y$ 到底是給定的"值"還是"函數"(註: 通常大多代表函數 $y$，值的話通常會這樣寫 $y(x_{0})$,$y_{0}$) ============================================================== [Bonus] $y=y(x)$這種表示法還有一個好處，如果允許 $f$ 是一對多，那麼 $y(x)$ 就是 $y \text{ is depend on } x$ 的意思，如果你喜歡用集合論來表示可以先定義$f$ 的定義域/對應域 $$ f : X \rightarrow Y$$ 然後 $y(x)$ 可以寫成這樣 $y \in Y_{x}$，其中值域為 $$ f(X):=\bigcup_{x \in X}Y_{x} \subseteq Y$$ ============================================================== [坑2 : Input 的變數到底是哪些] 這邊舉兩個例子提醒： (Ex1) 代換法會重新改變函數的 Input 例如 : $y = f(x) = x+1$ , $ z = g(y) = 2y$ 　可以代換一下，寫成 $z = g[f(x)] = 2(x+1)$ 如果你用簡記你會發現　$y(x) , z(y) , z(y(x)) \equiv z

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Probability Model Of Bingo Game

本文介紹經典的"賓果 Bingo" 遊戲，機率與期望值的解析計算公式的計算概念，相關的數學建模....等等 [遊戲情境] 總共有 $n$ 個相異的號碼彩球，號碼集為 $S:=\{1,2,3,....n\}$，今玩家可以花$1$元，買$1$張賓果卡 ($5 \times 5$) 位置座標集 $Z$, $|Z|=25$，然後從$S$ 隨機均勻選擇 $25$個相異的號碼並排列到一個佇列(queue)，而開球只會開前 $m$ 顆球，$25 \leq m\leq n$，而給定獎項圖形集 $\color{red}{p \in P := \{Bingo，王，十，一_1,一_2,...,一_5 \}}$ (可自行設計) ，以及已知賠率表向量 $odds_{P}$。開完球後，把Bingo 卡上的中獎的號碼圈起來形成"中獎圖形" ===================================================== 其中獎項圖形 : "$Bingo$" 代表$25$個號碼全中 "十"代表第 $3$ 列(row) 第 $3$ 行 (column) 有中 (共$9$個號碼) "王"代表第 $1$ , $3$ , $5$ 列(row) 第 $3$ 行 (column) 有中 (共$17$個號碼) "$一_k$" 代表第 $k$ 列有中 (共$5$個號碼) ===================================================== 若中獎圖形有涵蓋獎項圖形大致會獲得，賠率 $odds_{p} \times 1 $ 元，但有些合理規則: ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ $[ 規則 1 ]$ 若獎項圖形 $p_1,p_2$ 有完全重疊$(p_1 \subseteq p_2)$，則以大圖形 $odds_{p_2}$ 賠率算 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ $$\color{green}{ 重要假設: 合理的

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