本文介紹在一張簡單無向圖 $G(V,E^{<})$上，點記做 $i,j \in V$。 每個邊 $e := \{i,j\} \in E^{<}$ ，Either 連通=0 or 不連通=1。今給定起訖點 $o,d  \in V , o \neq d$ ，od-pair 記做  $<o,d>$ ，由於可能有很多替代的路徑可以從 $o$ 走到 $d$ 如何描述(表達集合) $<o,d>$ 為連通/不連通時"邊集"的情況 ?? ====================================================== 預備知識: $$\displaystyle{ \bigwedge_{s \in S}} Equation(s) $$  是邏輯大 And 或可嚴謹讀作  $\forall s \in S , Equation(s) \text{ is true}$    $$ \displaystyle{\bigvee_{s \in S} } Equation(s) $$  是邏輯的大 Or   或可讀作  $ \exists s \in S , Equation(s) \text{ is true }$ ====================================================== 符號定義: 1. $\mathcal{P}_{<o,d>}$  為起點為 $o$，終點為 $d$ 所有"路徑名稱(下標 index)"的集合    2. $  E^{<}_{p}   \subseteq E^{<}$ 路徑 $p \in \mathcal{P}_{<o,d>}$ 經過的無向邊集 3. 起訖點$<o,d>$可能會經過的所有無向邊的集合(路徑是由"邊"組成的) $$\displaystyle{E^{<}_{<o,d>} :=  \bigcup_{p \in \mathcal{P}_{<o,d>}} E^{<}_{p}  } \subseteq E^{<}$$  4. 令向量 $ y \in \{0,1\}^{E^{&

本文介紹"隨機變數"與線性代數"內積空間"的關係 !! ============================================= 在線性代數(Linear Algebra) 裡大家都熟悉向量的內積運算，即給定兩個 $|I|$ 維向量，$u_{I}:= (u_i)_{i \in I},\quad v_{I}:= (v_i)_{i\in I}  \in \mathbb{R}^{|I|}$，註: 編號化 $I \equiv \{1,2,3,....|I|\}$ 可以定義大家熟悉內積的運算 $$\left< u_{I},v_{I} \right> := \sum_{i\in I} u_i \cdot v_i$$ 簡記為$<u,v>$，令 $w$ 也為向量，$\alpha , \beta  \in \mathbb{R}$ 為實數 有一些大家熟悉的內積空間性質 (*)  , (註:不討論係數為虛數 $\mathbb{C}$): =========================================================== $ [1] \text{對稱性 }   \left< u,v \right>  =   \left< v,u \right> $ $ [2]\text{左分配律}    \left<u + w  , v \right>  =   \left<u , v \right>  +  \left<w , v \right>  $ $ [3] \text{右分配律}     \left<u   , v+w \right>  =   \left<u , v \right>  +  \left<u , w \right>  $ $ [4] \text{左線性}   \left< \alpha u , v \right>   = \alpha \left<u , v \right>$ $ [5] \text{右線性} \left<u , \beta v \right> = \beta \left< u,v