Random Variables In Inner Product Space

本文介紹"隨機變數"與線性代數"內積空間"的關係 !!
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在線性代數(Linear Algebra) 裡大家都熟悉向量的內積運算，即給定兩個 $|I|$ 維向量，$u_{I}:= (u_i)_{i \in I},\quad v_{I}:= (v_i)_{i\in I}  \in \mathbb{R}^{|I|}$，註: 編號化 $I \equiv \{1,2,3,....|I|\}$

可以定義大家熟悉內積的運算 $$\left< u_{I},v_{I} \right> := \sum_{i\in I} u_i \cdot v_i$$
簡記為$<u,v>$，令 $w$ 也為向量，$\alpha , \beta  \in \mathbb{R}$ 為實數
有一些大家熟悉的內積空間性質 (*)  , (註:不討論係數為虛數 $\mathbb{C}$):
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$ [1] \text{對稱性 }   \left< u,v \right>  =   \left< v,u \right> $
$ [2]\text{左分配律}    \left<u + w  , v \right>  =   \left<u , v \right>  +  \left<w , v \right>  $
$ [3] \text{右分配律}     \left<u   , v+w \right>  =   \left<u , v \right>  +  \left<u , w \right>  $
$ [4] \text{左線性}   \left< \alpha u , v \right>   = \alpha \left<u , v \right>$
$ [5] \text{右線性} \left<u , \beta v \right> = \beta \left< u,v \right> $
$ [6] \text{自己恆正}    \left<u,u\right> \geq 0$  (因為平方和 $\geq 0$ )
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額外地，利用 $[1] ,[4],[5]$，可以知道
$[7]  \left<\alpha u, \beta v\right> = \alpha \beta \left< u,v \right>$
註: $[6]$  可以跟量測向量的長度 norm 概念結合(Hibert Space)  $$ [8]\quad ||u|| := \sqrt{\left<u,u\right>} \text{ iff }   \left<u,u\right>  := ||u||^2 $$
假設三維空間 $(|I|= 3)$，根據餘弦定理:
我們腦中就有兩向量"夾角"與"投影" 的畫面 !!
$$ \text{夾角 $cos$ 值:  } cos(\theta_{uv}) = \frac{<u,v>}{||u||\cdot ||v||} $$
$$ \text{投影向量: } proj_{v}(u) := \underbrace{\frac{<u,v>}{<v,v>}}_{\text{投影純量}}u $$

以上是大家熟知的向量內積 ~~~ ，接下來探討機率論 !!

今考慮離散隨機變數 $X,Y$ 的時候，探討兩者的關係，需先定義 $X \equiv (x_{I},p_{I}) , Y\equiv (y_{J},p_{J})  $，以及聯合機率矩陣$$  p_{I\times J} := [p_{ij}]_{(i,j)\in I\times J}$$
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其中~~
$$\underbrace{x_{I} := (x_i)_{i \in I} , y_{J} := (y_j)_{j \in J}}_{\text{值域向量}}$$
$X,Y$聯合機率函數(joint pmf) :  $$p_{ij}:= p(x_i,y_j) = Prob.(X=x_i , Y=y_j)$$
只看 $X$ 的分布 (marginal):
$$p_i := p(x_i) = \sum_{j \in J} p_{ij}$$
只看 $Y$ 的分布(marginal):
$$p_j := p(y_j) = \sum_{i \in I} p_{ij}$$
$$\underbrace{p_{I} := (p_i)_{i \in I} , p_{J} := (p_j)_{j \in J}}_{\text{機率向量}}$$
機率總和性質:
$$ \sum_{i\in I}p_i = 1  , \sum_{j \in J} p_j = 1$$
注意: $p_i$  與 $p_j$ 是不同的
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於是我們可以計算 $X,Y$的共變異數
抽象概念定義:
$$  Cov(X,Y) :=  E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y] $$
詳細計算定義:
$$ Cov(X,Y):=  \left(\sum_{(i,j) \in I\times J} x_i y_j \cdot p_{ij}\right)  -  \left( \sum_{i\in I}x_i \cdot p_i \right) \left(\sum_{j\in J} y_j \cdot p_j \right)  ... (*)$$

當探討 $Cov(X,Y)$ 性質的時候，有沒有似曾相似的感覺呢??  事實上，你可以把隨機變數 $X,Y$ 看成向量 $u,v$，$Cov(X,Y)$ 記做 $\left<X,Y\right>$ ，你會發現 $[1],[2],...[7]$ 都會滿足!! 確實共變異數 $Cov$ 就是內積的概念，雖然不是熟悉的內積，是另一種內積 !!
於是可以利用$(*)$檢驗，如以下的表格
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$ [1'] \text{對稱性 }   Cov(X,Y)  =  Cov(Y,X)  $
$ [2']\text{左分配律 }    Cov(X + Y,Z)  =   Cov(X , Z)  +  Cov(Y , Z)  $
$ [3'] \text{右分配律 }     Cov(X,Y+Z)  =   Cov(X , Y)  +  Cov(X , Z)  $
$ [4'] \text{左線性 }  Cov(\alpha X,Y)  =   \alpha Cov(X , Y) $
$ [5'] \text{右線性 }Cov(X,\beta Y)  =   \beta Cov(X , Y) $
$ [6'] \text{自己恆正 }    Cov(X,X) \geq 0 $
$ [8'] \text{變異數,標準差定義 }  Var(X) := Cov(X,X) , \sigma_{X} := \sqrt{Cov(X,X)}$
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[Fact 1]   隨機變數的線性組合的變異數 !!
$Var(\alpha X+ \beta Y) = \alpha^2 Var(X) + \beta^2 Var(Y) + 2\alpha \beta Cov(X,Y) $
證明: 可以利用$(*)$，即
$$\underbrace{Var(\alpha X+ \beta Y) = Cov(\alpha X+ \beta Y, \alpha X+ \beta Y)}_{\text{利用 }[8']} $$
$$  \underbrace{ =  Cov(\alpha X+ \beta Y, \alpha X) +   Cov(\alpha X+ \beta Y,   \beta Y)}_{\text{利用 }[3']}$$
$$   \underbrace{= Cov(\alpha X, \alpha X) + Cov(\beta Y, \alpha X) + Cov(\alpha X, \beta Y) + Cov(\beta Y, \ \beta Y)}_{\text{利用}[2']}   $$
$$   \underbrace{= \alpha Cov(X,X) + \alpha \beta Cov(Y, X) + \alpha \beta Cov(X,Y) + \beta^2 Cov(Y,Y)}_{\text{利用}[4'][5']} $$
$$  \underbrace{\alpha^2 Var(X) + \beta^2 Var(Y) + 2\alpha \beta Cov(X,Y)}_{\text{利用}[1'][8']}  $$

[Fact 2] 相關係數(correlation) 就是夾角的概念 !!
$$   cos(\theta_{XY}) := \frac{\left<X,Y\right>}{||X||||Y||}\equiv \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)\cdot Var(Y)}} $$

[Fact 3] $X,Y$ 隨機變數獨立 $\Longrightarrow$ 向量垂直正交
$$  X \perp Y   \Longleftrightarrow  \bigwedge_{(i,j) \in I \times J}\left(p_{ij} = p_i \cdot p_j\right) \Longrightarrow  Cov(X,Y) = 0  \Longleftrightarrow \theta_{XY} = 90^{\circ} $$

[推廣至多維]
給定 $|T|$ 維隨機向量 $X_{T} = (X_{t})_{t\in T} $ ，可以構造共變異數矩陣(Covariance Matrix)  $$\Sigma(X_{T}) := [Cov(X_{t_1},X_{t_2})]_{(t_1,t_2)\in T^2}$$
則當今天給定一個 $m \times |T|$ 常數矩陣 $A$ ，考慮線性變換:  $\underbrace{AX_{T}}_{\text{matrix-vector multiplication}}$
則  $\Sigma(AX_{T}) = A \Sigma(X_{T}) A^{transpose} =    \text{ $m \times  m$ matrix }$
類似這種性質都可以使用$[1'] \sim [8']$ 展開，輕鬆推導驗證 !!


註: 學術上大多會把共變異數矩陣 $\Sigma(\text{隨機向量})$ 寫成 $Cov(\text{隨機向量})$，但因為容易跟 $Cov(純量,純量)$ 混淆，故筆者不建議這種表示 !!

[延伸閱讀]
這連結有比較詳細的介紹 !!
Covariance and Dot Product
http://people.sju.edu/~pklingsb/dot.cov.pdf

[小結]
所以我們可以把"隨機變數"成功的與"內積計算"的性質給結合，在熟悉的空間算數學，具有幾何意義，這也是線性代數為何要研究抽象空間的動機 !!

[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2018.06