Algebra Of Conditional Probability

條件機率(Conditional Probability)的概念，Bayes Formula，在日常生活中機率應該是最常使用的公式，由於多維的時候需要寫一長串公式，所以這邊自己嘗試定義推廣到抽象化的代數符號!!

令 $X,Y,Z$ 為連續隨機變數的集合，$f_X, f_Y,f_Z$ 為 joint pdf
1.Define:
$$\left<\frac{X}{Y} \right> := \frac{f_{X\cup Y}}{f_Y}$$
(p.s : 意思是給定 $Y$ 資訊下，測量$X$ 的機率密度 ，即 $X|Y$ 的分布)
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[Ex: 二維的例子]
$$X = \{x_1,x_2\}, Y=\{x_2\}  \Longrightarrow  \left<\frac{X}{Y} \right> = \frac{f(x_1,x_2)}{f(x_2)}$$
其中分子為 joint $(x_1,x_2)$ , 分母為 marginal $x_2$
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2.No Information : ($f_\emptyset = 1$)
$$\left< \frac{X}{\emptyset} \right>  := f_X$$

3.Integration Formula : (if $Y\subset X$)
$$\left<\frac{Y}{Z} \right>= \int_{X\setminus Y}\left<\frac{X}{Z} \right>$$
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[Ex: 二維的例子]
$X = \{x_1,x_2\}, Y=\{x_1\},Z=\emptyset$
$$\Longrightarrow  \left<\frac{Y}{Z} \right> = f(x_1) =   \int_{x_2 \in \mathbb{R}}f(x_1,x_2) dx_2 = \int_{X\setminus Y}\left<\frac{X}{Z} \right>$$
其中左式為 marginal $x_1$ 右式為 joint $(x_1,x_2)$ 對 $x_2$ 的積分
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4.Equal To 1:
$$\left< \frac{\emptyset}{Z} \right>  = \int_{X\setminus \emptyset}  \left<\frac{X}{Z} \right> = 1$$

5.Bayes' Theorem :
$$\left<\frac{Y}{X\cup Z} \right> \cdot \left<\frac{X}{Z}\right>  = \left<\frac{X\cup Y}{Z}\right> = \left<\frac{X}{Y\cup Z} \right> \cdot \left<\frac{Y}{Z}\right>$$
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[Ex: 二維的例子]
$X = \{x_1\}, Y=\{x_2\},Z=\emptyset$
$$f(x_2|x_1)\cdot f(x_1) =  f(x_1,x_2) = f(x_1|x_2) \cdot f(x_2)$$
這就是 conditional  $\times$  marginal $=$ joint !!
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(註: 貝氏統計(Bayesian statsitics)裡，$X$ 為母體參數向量，$Y$ 為樣本隨機向量，$Z = \emptyset$
當樣本給定$X$時!! 則 $\left<\frac{Y}{X\cup Z} \right>$ 稱為 likelihood ，$\left<\frac{X}{Z} \right>$  稱為 prior ，$\left<\frac{X}{Y\cup Z}\right>$ 稱為 posterior)


6.$X,Y$ are independent :
$$\left<\frac{X}{Y} \right>=  \left< \frac{X}{\emptyset} \right>  \text{ and } \left<\frac{Y}{X} \right>=  \left< \frac{Y}{\emptyset} \right>$$


7.$X$ self-independent :
$$\left<\frac{X}{Z} \right>=  \prod_{x\in X}\left< \frac{\{x\}}{Z} \right>$$
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[Ex: Naive Bayes Classifier 的假設]
$X = \{x_1,x_2,x_3,....x_n\}$，$Z= \{z\}$
$$f(x_1,x_2,....x_n|z) = \prod^{n}_{i=1} f(x_i|z)$$
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8.$X$ joint pdf-decomposition :
(Given Nested Sequence  $S_i$ s.t $\overset{=S_0}{\emptyset} \subset S_1\subset...\subset S_{n-1} \subset \overset{=S_n}{X}$)
$$\left<\frac{X}{\emptyset} \right>=  \prod^{n}_{i= 1}\left< \frac{S_{i}}{S_{i-1}} \right> = \prod^{n}_{i= 1}\left< \frac{S_{i}\setminus S_{i-1}}{S_{i-1}} \right>$$
[註 : 因為 $S_{i-1} \subset S_{i} \Longrightarrow  S_{i}\cup S_{i-1} =  (S_{i}\setminus S_{i-1}) \cup S_{i-1}$]
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[Ex: 四維單一展開]
$X = \{x_1,x_2,x_3,x_4\} , S_1=\{x_1\} ,S_2=\{x_1,x_2\} , S_3 = \{x_1,x_2,x_3\}$
$$f(x_1,x_2,x_3,x_4) = f(x_1)  \cdot f(x_2|x_1) \cdot  f(x_3 | x_1,x_2) \cdot f(x_4 | x_1,x_2,x_3)$$
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[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2017.08