跳到主要內容

Quick Formula To Find Polynomial Form Given Finite Integers


日常生活中，常常會有機智問答，如給定一個數列 $1,2,3,4,5,X$ ，請問下一項$X$是什麼，我們自然會回答 $6$ ，下一項是 $7$ ，事實上我們發現公式可以寫成 $a_k = k  \quad  k=1,2,3,...$
我們可以定義正式一個問題如下:
--------------------------------------------------------------------------
$(Q)$給定 $n$ 個整數，如何找到 $f$ 使得 $(C) : a_k = f(k) , k = 1,2,3,...n $
--------------------------------------------------------------------------
而根據知識，我們可以找到無窮多個多項式 $f$ 可以滿足$(C)$，而恰好存在唯一一個 $n-1$ 次多項式(polynomial) 可以滿足$(C)$，這問題的連續版本在數值分析(Numerical Analysis)領域稱為 interpolation ，也就是給定 $ S \subset \mathbb{R}^2$，找到一個公式$f$ 使得 $ \forall (x,y) \in S \quad f (x) = y $ [註: 這跟統計上迴歸分析不同的是，interpolation 要完全 fit !!，但是如果存在$(x,y_1),(x,y_2) \in S$,$y_1 \neq y_2$，因為函數無法一對多，則無法使用 interpolation !!   ]

而問題$(Q)$ 在筆者讀高中的時候發現的一個公式，會找到一個最低項的多項式(如果只有紙跟筆的話)，分享給讀者~

先定義差分數列 $ b_k = a_{k+1}- a_{k}$ ，$\{b_k\}^{n-1}_{k=1}$ 會比 $a_k$ 少一項，記做 $\{\Delta a_k\}^{n-1}_{k=1}$ ，每做一次差分會少一項。

我們持續做會得到很多差分數列，取它們的第一項，記做 $\vec{a} :=< a_1 , \Delta a_1 , ..... \Delta^{n-1} a_1 >$ 再來定義 $\vec{b}:= <C^{k-1}_0, C^{k-1}_1 , ....C^{k-1}_{n-1} >$

所以 $$f(k) := \vec{a}\cdot \vec{b} = \sum^{n-1}_{i=0}\left[\Delta^{i}a_1 \cdot  C^{k-1}_{i} \right]  \qquad \text{(Plus & Minus  2007)}  $$

[註: 事實上我們只要做到差分數列是常數數列就可以停止了 !! ]

[舉例來說]
如下圖:  給定六個數字  $\{ a_k \}= \{1,2,4,8,15,26\}   $

$\{\Delta^{1}a_k\} = \{1,2,4,7,11\}$
$\{\Delta^{2}a_k\} = \{1,2,3,4\}$
$\{\Delta^{3}a_k\} = \{1,1,1\}$
$\vec{a}=<a_1,\Delta a_1,\Delta^2 a_1, \Delta^3 a_1> = <1,1,1,1>$

$$ f(k) = C^{k-1}_{0}+C^{k-1}_{1}+C^{k-1}_{2}+C^{k-1}_{3} $$

 展開得到

$$  f(k) = 1 + (k-1) + \frac{(k-1)(k-2)}{2} + \frac{(k-1)(k-2)(k-3)}{6} $$

[檢查]
很明顯 $f(1) , f(2) , f(3)$ 都滿足要求
計算 $f(4) =  1 + 3 + \frac{3\cdot 2}{2}  + \frac{3\cdot 2 \cdot 1}{6} = 8$
         $f(5) =  1 + 4 + \frac{4\cdot 3}{2}  + \frac{4\cdot 3 \cdot 2}{6} = 15 $
         $f(6) =  1 + 5 + \frac{5\cdot 4}{2}  + \frac{5\cdot 4 \cdot 3}{6} = 26 $
我們得到了 $f$ ，這是最低項多項式可以滿足 $(C)$


[小結]
這公式當初是數感發現的，是個非常漂亮的公式，而原理應該可以用泰勒展開式的證明!!

[額外補充]
另外，還可以查詢 OEIS 大辭典，收集了數學家發現的整數數列，可以告訴你下一項是什麼 !! 還有這數列實際上會應用的地方


[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 
by Plus & Minus 2017.08



留言

張貼留言

這個網誌中的熱門文章

General Solution Of Eigen System In Linear Algebra

本文從淺白的角度回顧線性代數( Linear Algebra )，了解特徵值( eigenvalue )，特徵向量( eigenvector )，還有特徵多項式( Characteristic Polynomial ) 的框架，並推廣其概念，還有它在解差分方程式，微分方程式，差分方程組，微分方程組的關係。 ----------------------------------------------------------- [預備知識]    向量空間( vector space ) $V$，field over $\mathbb{C}$ ，線性獨立( linear independent )， Span ， Basis 等概念。 線性函數的定義為 $L : V \longrightarrow V$ ， $$\forall \alpha , \beta  \in \mathbb{C} , v_1 ,v_2 \in V \quad L(\alpha v_1 + \beta v_2) =\alpha L(v_1) + \beta L(v_2) $$ 其中 $L(0) = 0 \in V$ 其中 $+$ 都是$V$裡的加法，線性函數空間記做 $L \in \mathcal{L}^{V}$ 其中存在 $O \in \mathcal{L}^{V}$ 零函數 $O(V) = \{0\}$ ，即 $\forall v \in V ,  O(v) = 0 \in V $ 其中存在 $I \in \mathcal{L}^{V}$ 送到自己函數 ，即 $\forall v \in V ,  I(v) = v \in V $ ----------------------------------------------------------- [主要動機] 給定 $b \in V$ ,  $L \in \mathcal{L}^{V}$ 如何解線性系統 $L(x) = b$ ，換句話說就是構造出 $$ S_{b}:= \left\{x \in V : L(x) = b  \right\} $$ ，而 $Ker(L) := S_{0}$ ( Kernel ) 註: 構造出...
張貼留言
閱讀完整內容

Linear Regression By Using Linear Programming

當拿到一筆資料準備玩統計，往往會想要做線性迴歸( Linear Regression )，找出一個模型( mathematical model )來解釋變數間的關係，一般都是使用平方距離，但是如果我們採用絕對值距離呢?? 而剛好在工業工程( Industrial Engineering )，作業研究( Operation Research ) 領域，發展成熟的線性規劃( Linear Programming ) 恰好可以來解決，是一個跨領域的應用 !! 已經存在有許多商業或open source 軟體，如: Gurobi ， Cplex ， Xpress ， Mosek ， SCIP  可以輕易求解大型的線性規劃問題。而不僅如此也可以利用整數規劃( Integer Programming )來做特徵選擇 ( Feature Selection )，甚至可以偵測離群值( Detect Outlier ) !! 本文只介紹最小絕對值和，關於 Feature Selection , Detect Outlier 可以參考 Mixed-Integer Linear Programming Robust Regression with Feature Selection , Oleksii Omelchenko , 2010 的論文。 [Data Fitting Problem] 給定$n$筆實數型訓練資料 (training data) $\{(x^{k},y^{k})\}^{n}_{k=1} = \mathcal{D} , x^{k} =(x^{k}_1,x^{k}_2, ... , x^{k}_{p})\in \mathbb{R}^{p}$ , $y^{k} \in \mathbb{R}$ ， 我們目標是想要找到一個函數 $f_{\mathcal{D}} : \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$ 使得  $\forall x \in \mathbb{R}^{p} , f_{\mathcal{D}}(x) \approx y$ ， 精確來說: $$ \text{Find } f_{\mathcal{D}} \text{ such that } f_{\mathcal{D}}(x)\...
張貼留言
閱讀完整內容

Nash Equilibrium & Best Responce Function (BRF) In Continuous Strategies

經濟學重要的賽局理論( Game Theory )領域，用數學描述人與人之間的理性互動，最重要的就是尋找奈許均衡( Nash equilibrium )， 本篇介紹其數學規劃與非線性方程組!!  假設有 $p$ 名玩家(player $i$)，$i=1,2,3,4,5,....p$ ， 正在玩一場遊戲(Game)~~，完全不合作，各自獨立作決策 每個人有決策向量 $x_i \in \Omega_i \subseteq R^{n_i}$ (有$n_i$個決策變數)  定義長向量: $\underbrace{x =  (x_1,x_2,x_3,....x_p)}_{\# \text{ of } \sum^{p}_{i=1}n_i \text{ variables }} \in  \prod^{p}_{i=1} \Omega_i = \Omega $ 對於每個 player $i$ ，長向量可以寫成 $x = (x_i , x_{-i})$ ，$x_{-i}$ 代表其他人(不是 player $i$) 能做的決策向量。 所有人各自作決策後，每個人都會個自的存在報酬效用函數 $f_i (x)  \in \mathbb{R} $ (報酬函數皆為公開已知資訊) 假設每位玩家是理性人(會極大化自己效用) 即 $$\forall i = 1,2,3,4....p \qquad  \underset{x_i \in \Omega_i}{\text{max }}f_i(x)  $$ [註: 如果為合作可視為多目標規劃問題( multiobjective )，即 $x_1,x_2,...x_p$ 可以由領導人一起決定] [註: 如果為合作而且把效用加總，即目標式變成 $\sum_{i=1}^{p} f_i(x)$ ，可能對集體效益有更大的幫助，但是如何分配效益給 ( player $i$ )會是個議題，可以查關鍵字 fair optimization ] 我們可以定義每個 player i 的 Best Response Function (BRF) or Best Reponce Set $S_i(x_{-i}) \subset \Omega_i$ $$  S_i(x...
張貼留言
閱讀完整內容