本篇文章使用淺顯易懂集合論的語言，連接統計學現實與抽象化的過程，來重新詮釋統計學的概念，並區分一些差異與澄清一些觀念，希望能對初學統計的讀者有些幫助。 [定義有限母體] 日常生活中，母體的概念大家都能理解，很多很多個體。我們可以定義一個很大但有限的集合$\Omega$ ，每個獨一無二的個體記做 $s$ ，所以可以寫成 $s \in \Omega$ 而全部個數記做 $N$ (現實生活中$N$很大通常未知，除非我們有能力有時間消耗大量成本做普查才能得知 $N$) $$ |\Omega| = N  $$ [ex:] 例如全台灣人，兩千三百萬人左右，則可以寫成 $N \approx 2300 \times 10^4$ 而我們感興趣的可能是個體的可以量化的屬性(如:身高，成績)，所以可以定義一個實數函數(real-valued function) $$ X : \Omega \longrightarrow  \mathbb{R}  $$ [ex:] 例如阿元的月收入$\$$  可以寫成     $X(阿元) =  22 \times 10^3$  或是記做下標 $X_{阿元} = 22 \times 10^3$ ，而每個人的月收入有高有低，如果把那些"值"聯集起來，我們能說一定若在實數域裡面 !! [屬性值有哪些] 數學上來說就是 range of $X$ , image of $X$ $$ X(\Omega) := \{ X_s  \in \mathbb{R}: s\in \Omega \} = \bigcup_{s\in \Omega} \{ X_s\} \subset \mathbb{R} $$ 這時我們可以把薪水的值記做 $x \in X(\Omega)$ [計數與比例] 這時大家會好奇說有沒有其他人跟我一樣的薪水，還有那群人在全台灣人佔了多少比例，所以會計算個數 (Count) ，以及比例 (Frequency) 。 正是數學定義如下: $$  \text{Count}(x,\Omega) :=   |\{ s\in \Omega :  X_s = x  \}|  \in [0,|\Omega|]_\mathbb{Z}       $$ $$\text{Frequency}(x,\Omega) :=

本篇為筆者使用集合論符號，方便抽象推廣化到多維陣列。 ====================================== [符號提醒] 由於有些符號有點抽象，為了方便讀者了解，小寫大多為"元素"，大寫大多為"集合" $\prod$ 代表集合的 Catesian Product , $ \sum $ 代表連加，$| \cdot |$ 代表集合元素個數(Cardinality)，符號幾乎不會混用，並注意字母粗體的差別!! [定義論域] 首先定義下標符號集合 $i \in I$ , 而且給定多維離散結構有限集合 $$\mathcal{R}_{I}  \subseteq U_{I} $$ 其中 $U_{I}$ 為給定 $|I|$維座標宇集 $$ u_{I} \in U_{I} = \prod_{i\in I}U_i$$ , 正式定義如下 ====================================== [定義整體離散結構] $$ \mathcal{R}_{I} := \left\{ u_I = \underbrace{(u_i)_{i\in I}}_{|I|\text{dim - tuple}} \in U_{I} \left| u_i \in U_i  , \forall i \in I ,  u_{I} \text{ satisfies something ...} \right. \right \}$$ [ex1] 關於 $\mathcal{R}_{I}$ 與 depend sets 的例子可以參考這篇 https://discoverforgottenmath.blogspot.tw/2017/08/framework-of-creating-depend-sets-given.html 可以簡記 $u_{I} \in \mathcal{R}_{I}$ 對於每個 $i \in I$，可以把 $u_{I}$ 寫成 $(u_{i},u_{I-\{i\}} )$ , 也可以簡記為 $u_{I} = (u_{i},u_{-i} )$  (賽局理論表示法) ====================================== [收集出一維結構] 對於每一個

筆者認為數學建模的困難性在於我們無法把現實生活中的問題使用數學符號語言"表達的很清楚"，本篇文章從筆者學習作業研究(Operation Research)的經驗，並給些例子說明日常生活中的集合論，概念的啟發!! [物品價格加總改寫 !! ] 給定 $n$ 個物品， $I = \{ One , Two , ..... TheNth \}$ ，每個編號視為"物理上不同且唯一"的物品，而可以定義其價格函數 :  $$X : I \longrightarrow \mathbb{R}$$ 數學上我們習慣把物品做編號化，寫成 $i = 1 , 2 , 3 , ..... n $，但這事實上這些數字沒有意義，只是個符號區分"不同"而已不能做運算....，筆者認為是多此一舉，而且容易混淆，所以在現實生活中的應用，我們不必把物品編號，可以抽象化成廣義成抽象的集合 $i \in I$ 而當我們要把 $n$ 個物品價格加總，就可以寫成下面這種形式 : $$ \sum^{n}_{i=1}  X_{i} \underset{\text{集合化}}{\Longrightarrow} \sum_{i\in [1,n]_{\mathbb{Z}} } X_{i}  \underset{\text{去掉編號}}{\Longrightarrow}  \sum_{i \in I} X_{i}  $$ [另外]你還可以...做以下的表示，玩玩交集聯集 !! $$ I_1 , I_2  \subset I  \quad  \sum_{i \in I_1\cup I_2} X_{i} , \sum_{i \in I_1\cap I_2} X_{i}  $$ [另外可以回味連續的世界] 加了左邊$ \displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty }}$，右邊$\frac{1}{n} $ 只加左邊就是 Series 啦 !! 大概長這樣，$$\lim_{n \rightarrow \infty } \sum^{n}_{i=1}  X_{i} = \sum^{\infty}_{i=1}  X_{i} $$ 加左邊加右邊有機會變積分囉 !! (不嚴謹的寫法，概念上大概長這樣) $$\lim