Expectation Of More Trials

本文為分析電玩裡常見的期望值小問題:

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如果有 $n$ 個庫存物/道具。每使用 $1$ 次庫存物/道具時，有 $p \in [0,1]$ 的機率不會消耗這次使用，那麼平均而言總共可以使用幾次 ??  有多少扣達(quota) ?? (假設每次使用的機率機制相同，獨立同分布，Bernoulli 試驗)

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首先先定義隨機變數 $T$ ，代表總共只可以使用了 $T$ 次，而以 $t$ 表示隨機變數的"取值"，根據生活經驗很明顯 $t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}} = \{n,n+1,n+2,.....\}$ 

定義當 $T = t$ (當隨機變數 $T$ 取值為 $t$) 的機率為 $$ P_t := Pr(T=t)  $$

則本文目標為計算期望值:

$$ E[T] =  (\text{可能次數} \times \text{對應的機率}) \text{的總和} $$ $$ = \sum_{t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}}} t \cdot Pr(T=t) = \sum^{\infty}_{t = n} t \cdot P_{t} = \underbrace{ \lim_{N \rightarrow \infty} \left(\sum^{N}_{t = n} t \cdot P_{t}\right) }_{\text{嚴謹寫法}}$$

而機率計算如下:

$$ P_{t}= \overbrace{\left[ \underset{\text{不盡相異物直線排列數}}{\left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right)} p^{t-n} (1-p)^{n-1} \right]}^{\text{前 $t-1$ 次，共消耗了 $n-1$ 個道具，得到了$t-n$ 次再使用機會}} \cdot \overbrace{(1-p)}^{\text{最後 1 次 消耗了 1 個道具 }}  $$

則期望值可以寫成一個無窮級數(Infinite Series)

$$  E[T] = \left[ \sum_{t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}}}t \cdot \left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right) p^{t-n} (1-p)^{n} \right] $$

因為"組合"等價 :

$$  \left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right) =   \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t-n \\ \end{array} \right)$$

使用變數變換 : 

$$t \in [n,\infty)  \Longleftrightarrow   k := t-n \in [0,\infty)  \text{ and } t = n+k $$

再提出常數$(1-p)^{n}$ 可以把期望值改寫成

$$ E[T] = (1-p)^{n} \sum_{k=0}^{\infty}\left[(n+k) \left( \begin{array}{c}  n+k-1 \\ k \\  \end{array} \right) p^{k} \right] $$

因為 $(n+k) \left( \begin{array}{c}  n+k-1 \\ k \\  \end{array} \right) = \frac{(n+k)(n+k-1)!}{k! (n-1)!} = n \cdot \frac{(n+k)!}{n!k!} = n \cdot   \left( \begin{array}{c}  n+k \\ k \\  \end{array} \right) $

所以最後得到~

$$E[T] = n(1-p)^{n} \underbrace{\left[\sum^{\infty}_{k= 0} \left( \begin{array}{c}  n+k \\ k \\  \end{array} \right) p^{k}\right]}_{(1-p)^{-(n+1)}} = \frac{n}{1-p} $$

其中會用到的"以下式子"為二項式定理的結果，可參考 wiki (Probability mass function  章節)

https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution

$$ (1-p)^{-(n+1)} =  \left[\sum^{\infty}_{k= 0} \left( \begin{array}{c}  n+k \\ k \\  \end{array} \right) p^{k}\right] $$

我們可以做個邊界分析~ 檢驗一下計算的答案是否合理~   當 $p = 0$ 時 則  $E[T] = n$ 合乎常理 ，當 $p \rightarrow 1$ 則 $E[T] \rightarrow \infty$ 合乎常理!!

實際應用 : 身上帶了 10 瓶藥水，每次使用有 $25\%$ 的機率不會消耗。則根據期望值公式相當於身上帶了 $\frac{10}{1-0.25} = \frac{10}{0.75} = 13.33333  $ 瓶

[小結]
事實上此問題為負二項分布(nonegative binomial distribution)的應用版本，而本文是以直接計算方法解決!! 分享對機率有興趣的讀者~

[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2018.03