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Expectation Of More Trials

本文為分析電玩裡常見的期望值小問題:

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如果有 n 個庫存物/道具。每使用 1 次庫存物/道具時,有 p \in [0,1] 的機率不會消耗這次使用,那麼平均而言總共可以使用幾次 ??  有多少扣達(quota) ?? (假設每次使用的機率機制相同,獨立同分布,Bernoulli 試驗)
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首先先定義隨機變數 T ,代表總共只可以使用了 T 次,而以 t 表示隨機變數的"取值",根據生活經驗很明顯 t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}} = \{n,n+1,n+2,.....\} 

定義當 T = t (當隨機變數 T 取值為 t) 的機率為 P_t := Pr(T=t) 

則本文目標為計算期望值:

E[T] =  (\text{可能次數} \times \text{對應的機率}) \text{的總和} = \sum_{t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}}} t \cdot Pr(T=t) = \sum^{\infty}_{t = n} t \cdot P_{t} = \underbrace{ \lim_{N \rightarrow \infty} \left(\sum^{N}_{t = n} t \cdot P_{t}\right) }_{\text{嚴謹寫法}}

而機率計算如下:

P_{t}= \overbrace{\left[ \underset{\text{不盡相異物直線排列數}}{\left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right)} p^{t-n} (1-p)^{n-1} \right]}^{\text{前 $t-1$ 次,共消耗了 $n-1$ 個道具,得到了$t-n$ 次再使用機會}} \cdot \overbrace{(1-p)}^{\text{最後 1 次 消耗了 1 個道具 }} 

則期望值可以寫成一個無窮級數(Infinite Series)

  E[T] = \left[ \sum_{t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}}}t \cdot \left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right) p^{t-n} (1-p)^{n} \right]

因為"組合"等價 :
  \left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right) =   \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t-n \\ \end{array} \right)

使用變數變換 : 
t \in [n,\infty)  \Longleftrightarrow   k := t-n \in [0,\infty)  \text{ and } t = n+k

再提出常數(1-p)^{n} 可以把期望值改寫成
E[T] = (1-p)^{n} \sum_{k=0}^{\infty}\left[(n+k) \left( \begin{array}{c}  n+k-1 \\ k \\  \end{array} \right) p^{k} \right]

因為 (n+k) \left( \begin{array}{c}  n+k-1 \\ k \\  \end{array} \right) = \frac{(n+k)(n+k-1)!}{k! (n-1)!} = n \cdot \frac{(n+k)!}{n!k!} = n \cdot   \left( \begin{array}{c}  n+k \\ k \\  \end{array} \right)

所以最後得到~
E[T] = n(1-p)^{n} \underbrace{\left[\sum^{\infty}_{k= 0} \left( \begin{array}{c}  n+k \\ k \\  \end{array} \right) p^{k}\right]}_{(1-p)^{-(n+1)}} = \frac{n}{1-p}


其中會用到的"以下式子"為二項式定理的結果,可參考 wiki (Probability mass function  章節)
(1-p)^{-(n+1)} =  \left[\sum^{\infty}_{k= 0} \left( \begin{array}{c}  n+k \\ k \\  \end{array} \right) p^{k}\right]

我們可以做個邊界分析~ 檢驗一下計算的答案是否合理~   當 p = 0 時 則  E[T] = n 合乎常理 ,當 p \rightarrow 1E[T] \rightarrow \infty 合乎常理!!

實際應用 : 身上帶了 10 瓶藥水,每次使用有 25\% 的機率不會消耗。則根據期望值公式相當於身上帶了 \frac{10}{1-0.25} = \frac{10}{0.75} = 13.33333 


[小結]
事實上此問題為負二項分布(nonegative binomial distribution)的應用版本,而本文是以直接計算方法解決!! 分享對機率有興趣的讀者~



[以上純為學術經驗交流知識分享,如有錯誤或建議可留言~~] 
by Plus & Minus 2018.03

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