Expectation On Non-disjoint Events

本文為紀錄簡易博弈模型，若滿足有交集則彩金"疊加性"，則傳統期望值可推廣到非互斥事件上。

給定 開獎結果(樣本空間) $\Omega$ ，投注項目集 $B$ ，
投注項目 $b$所對應的開獎結果集 $\Omega_{b}$

$$ \bigwedge_{b \in B}\left(\Omega_{b} \subset \Omega\right)$$

以及定義 $\Omega_{b}$補集:
$$\displaystyle{\bigwedge_{b \in B} \left( \bar{\Omega}_{b}:= \Omega \setminus \Omega_{b} \right) }$$

機率公設與 $\Omega_{b}$ 定義計算如下:
$$\displaystyle{ \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1} $$
$$\displaystyle{\bigwedge_{b \in B} \left( P(\Omega_{b}) := \sum_{\omega \in \Omega_{b}} P(\omega) \right)} $$

描述文氏圖互斥分割集概念如下:
$$\displaystyle{\Omega = \bigcup^{\text{disjoint}}_{S \subseteq B} \left(\bigcap_{b \in S}\Omega_{b} \cap \bigcap_{b \in B\setminus S} \bar{\Omega}_{b}\right)  }$$

開獎機制如下:
假定 開獎結果 $\omega$，投注$b$ 項目中獎可獲得彩金 $c^{bingo}_{b}$ 元，槓龜獲得彩金 $c^{turtle}_{b}$ 元


$$\displaystyle{\bigwedge_{(b,\omega) \in B\times \Omega}\left\{\begin{array}{l}\omega \in \Omega_{b} \Longleftrightarrow \text{得到 } c^{bingo}_{b}\\ \omega \not\in \Omega_{b} \Longleftrightarrow  \text{得到 } c^{turtle}_{b} \\\end{array}  \right.}$$


(註: 若有 $\omega$ 同時被許多 $\Omega_{b}$ 交集 則彩金"疊加")

則期望彩金值滿足下面的等式，左式為推廣式，右式為傳統算法(互斥集合相加)
$$ \displaystyle{\sum_{b\in B}\left[ c^{bingo}_{b}P(\Omega_{b}) + c^{turtle}_{b}P(\bar{\Omega}_{b}) \right]}= \sum_{S \subseteq B}\left[\left(\sum_{b\in S}c^{bingo}_{b} + \sum_{b \in B\setminus S} c^{turtle}_{b}\right) P\underbrace{\left(\bigcap_{b \in S}\Omega_{b} \cap \bigcap_{b \in B\setminus S} \bar{\Omega}_{b}\right)}_{\text{disjoint sets}}\right] $$

舉例:

$B = \{ X,Y\}$ , $|B|=2$ 則期望值

 $$ \text{左式 } = c^{bingo}_{X} P(\Omega_{X}) + c^{turtle}_{X} P(\bar{\Omega}_{X})  + c^{bingo}_{Y} P(\Omega_{Y})  + c^{turtle}_{Y} P(\bar{\Omega}_{Y}) $$

$$ \text{右式 } = \overbrace{(c^{bingo}_{X}+c^{bingo}_{Y})  P(\Omega_{X} \cap \Omega_{Y})}^{S = \{X,Y\}= \Omega}  +  \overbrace{(c^{bingo}_{X}+c^{turtle}_{Y})P(\Omega_{X} \cap \bar{\Omega}_{Y})}^{S=\{X\}} +  \overbrace{ (c^{turtle}_{X}+c^{bingo}_{Y}) P(\bar{\Omega}_{X} \cap \Omega_{Y}) }^{S=\{Y\}}+  \overbrace{(c^{turtle}_{X}+c^{turtle}_{Y})P(\bar{\Omega}_{X} \cap \bar{\Omega}_{Y})}^{S=\emptyset}
$$

[小結]
此公式是非常自然，好理解的，有交集就疊加!!  比較神奇的是左式是$|B|$項相加，右式則需要 $2^{|B|}$項相加。 如果考慮到彩金疊加性，事實上我們只要 $|B|$ 個維度就能算出期望值，不需要 $2^{|B|}-1$ 個維度，而且算法跟傳統期望值定義一模一樣!!

[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2018.03