本文說明機率論如何在給定機率事件(Events) 如何轉成互斥機率事件(Disjoint Events) 的一些方法 [機率論複習/符號定義] 令 $\omega \in \Omega$ 為樣本點(sample)，樣本空間(sample space)。以及已經定義的(pre-defined)一些事件集 (Events) $ e \in E$ ，與每個事件 $e$ 所對應的樣本點集 $\omega \in \Omega_{e}$ 當隨機發生時，相當於從樣本空間 $\Omega$ 根據機率分布 $p_{\Omega}$ 而產出一個元素 $\omega_{*}$  當 $\omega_{*} \in \Omega_{e}$  我們說事件 $e$ 發生，反之沒發生，發生的機率為 $$p_{e}:=\sum_{\omega \in \Omega_{e}}p_{\omega}$$ 註: 現實生活中，事件 $e$ 的樣本集通常是 $\{0,1\}^{n}$ 的子集, $n$ 可能為"實驗次數"或是"黑箱個數" $$\bigwedge_{e \in E} \left( \Omega_{e} \subseteq \{0,1\}^{n} \right)$$ [問題定義] 如何給定 $ \Omega_{E} :=  \{\Omega_{e}\}_{e \in E}$ 找到互斥事件集 $E^{disjoint}$ 與其樣本集 $\Omega_{E^{disjoint}}:= \{\Omega_{e} \}_{e \in E^{disjoint}}$ 而且 $$  \bigwedge_{e \in E} \bigg( p_{e} \in Span \bigg\{ p_{e'}: e'\in E^{disjoint} \bigg\} \bigg)$$ [文氏圖交集想法] 很明顯有一個解 $\Omega_{E^{disjoint}} =  \bigg\{\displaystyle{ \bigcap_{e \in S}\Omega_{e} \cap \bigcap_{e \in E\setminus S}\bar{\Omega}_{e } : S \subseteq E 

本文介紹筆者自己定義的名詞 : Merge Encoding ，或許有別的學術名詞 !! 數學概念簡單易懂，用途方便理解集合論，機率論，壓縮紀錄大量的元素等等 :) 在數學上，我們習慣會用  $\{0,1\} = \{ False , True \}$，而且日常生活經驗常構造出高維度子集合 $$ s \in  S \subseteq  \{0,1\}^{n} $$ ==================================================== 例如 : $n = 3$  長相大概像這樣 $$ s \equiv (s_1,s_2,s_3) \in S = \{(0,0,1), (1,0,1),.....\} \subseteq \{0,1\}^3$$ ==================================================== 很明顯 $|S| \leq 2^{n}$，而且 $$\bigwedge_{s \in S}\bigg(\sum_{k=1}^{n} s_k \in [0,n]_{\mathbb{Z}} \bigg)$$ 可以把 $n$ 想成物件的集合個數 $|K|$ ，$K$ 為物件集，則 $S$ 相當於選取哪些物件可能的組合，類似背包問題(knapsack problem)的概念。 ===================================================== 例如: $(0,1,1)$ 代表選第2個與第3個物件 ===================================================== 今想要表達一個物件 $k \in K$ 在集合$S$是可有可無的概念，也就是  $$(s_{k},s_{-k}) , (\bar{s_k},s_{-k})  \in  S$$ 其中 $$\bar{s_k} =  \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \text{if }  & s_k = 0 \\  0 & \text{if } & s_k =1 \\  \end{array} \right.  \quad , \quad  s_{-k} \equiv \un

本文介紹比較有效率計算路徑個數的演算法，以及一些數學概念的整合 [符號定義] 考慮點集 $k \in K = \{1,2,.....|K|\}$ (stages) ，以及每個 stage $k$ 的可能值 $x_k$ 與其空間集 $X_{k}$ (state space)  也就是 $$ \bigwedge_{k \in K}\bigg( x_k \in X_{k} \bigg)$$ 另外我們把 $K$ 集定義有序陣列的概念(list,array) !!  $K^{<} := [1,2,3,4,....|K|] , K^{>} := [|K|,....,2,1]$ 而現實生活中有許多分類的層狀結構，數學上可寫成 $$ \bigwedge_{k \in K^{<}}\bigg(x_k\in \color{red}{X_{k}(x_{k-1})} \bigg)$$ 其中 $\color{red}{X_{k}(x_{k-1})} \subseteq X_{k}$ 為 DependSet 的概念，代表給定 $x_{k-1}$ 下，$X_{k}$ 的可能值，這些 $\color{red}{X_{k}(x_{k-1})}$ 是已經被定義的，而且 $X_{1}(\underset{=\emptyset}{x_0}) \equiv X_{1}$ 註: 每個 $X_{k}$ 只跟上一層 $x_{k-1}$ 值有關，而與前幾個值 $x_{k-2},x_{k-3}, ...$ 無關， 即類似馬可夫鍊(Markov Chain)相依，而非路徑相依 (Path-dependent) ================================== 舉例: 生物分類的界門綱目科屬種的概念 可以想成 $X_1 = $ 界 ，$X_2(x_1) = $ 門 ，$X_3(x_2) =  $  綱 .... ================================== [問題定義] 定義 $$\mathcal{R} :=  X_{1} \times X_{2}(x_1) \times X_3(x_2) .... \times X_{|K|}(x_{|K|-1})   \subseteq  \prod_{ k\in K