Efficient Way From Events To Disjoint Events

本文說明機率論如何在給定機率事件(Events) 如何轉成互斥機率事件(Disjoint Events) 的一些方法

[機率論複習/符號定義]

令 $\omega \in \Omega$ 為樣本點(sample)，樣本空間(sample space)。以及已經定義的(pre-defined)一些事件集 (Events) $ e \in E$ ，與每個事件 $e$ 所對應的樣本點集 $\omega \in \Omega_{e}$

當隨機發生時，相當於從樣本空間 $\Omega$ 根據機率分布 $p_{\Omega}$ 而產出一個元素 $\omega_{*}$ 

當 $\omega_{*} \in \Omega_{e}$  我們說事件 $e$ 發生，反之沒發生，發生的機率為 $$p_{e}:=\sum_{\omega \in \Omega_{e}}p_{\omega}$$

註: 現實生活中，事件 $e$ 的樣本集通常是 $\{0,1\}^{n}$ 的子集, $n$ 可能為"實驗次數"或是"黑箱個數"

$$\bigwedge_{e \in E} \left( \Omega_{e} \subseteq \{0,1\}^{n} \right)$$

[問題定義]

如何給定 $ \Omega_{E} :=  \{\Omega_{e}\}_{e \in E}$ 找到互斥事件集 $E^{disjoint}$ 與其樣本集

$\Omega_{E^{disjoint}}:= \{\Omega_{e} \}_{e \in E^{disjoint}}$ 而且 $$  \bigwedge_{e \in E} \bigg( p_{e} \in Span \bigg\{ p_{e'}: e'\in E^{disjoint} \bigg\} \bigg)$$

[文氏圖交集想法]

很明顯有一個解 $\Omega_{E^{disjoint}} =  \bigg\{\displaystyle{ \bigcap_{e \in S}\Omega_{e} \cap \bigcap_{e \in E\setminus S}\bar{\Omega}_{e } : S \subseteq E    }  \bigg\}$，也就是把文氏圖切成 $2^{|E|}$ 塊。但現實生活中，如果 $|E| = 50$，則要做 $2^{50}-1$次集合組合間交集運算，而且很多"塊"可能都是空集合，稀疏的(Sparse)，實作上可能不能直接這樣思考!!

[從樣本點角度出發]

可以先把 $\bigg\{ \Omega_{e}: e \in E \bigg\}$ 做自然對偶對應 (Natural Dual Correspondence) (筆者自己的用詞) ，產生 $\color{red}{\bigg\{ E_{\omega} :   \omega \in  \displaystyle{\bigcup_{e \in E}\Omega_{e}} \bigg\}}$ ，也就是 

$$  \bigwedge_{e\in E} \bigwedge_{\omega \in \Omega} \bigg(  \omega \in \Omega_{e} \Longleftrightarrow e \in  \color{red}{E_{\omega}}        \bigg) $$

計算複雜度只要 $\displaystyle{O\left(\sum_{e\in E}|\Omega_{e}|\right)}$

白話來說，我們把焦點從 $\color{blue}{"事件 e  發生所需要的樣本點 \omega"}$ 轉移到 $\color{green}{"樣本點 \omega 出現時，哪些事件  e  會發生"}$
另外考慮 $E_{\omega}$ 上的事件們 $$\left\{\begin{array}{c}e \in E_{\omega}  \Longrightarrow \omega \in \Omega_{e} \\ e' \in E_{\omega}  \Longrightarrow \omega \in \Omega_{e}\\  e'' \not\in E_{\omega}  \Longrightarrow \omega \not\in \Omega_{e''}    \\\end{array}\right. \Longrightarrow  \omega \in \Omega_{e}\cap \Omega_{e'} \cap \bar{\Omega}_{e''}$$
廣義來說 : $$ \omega \in \left(\bigcap_{e \in E_{\omega}} \Omega_{e}\right) \cap \left( \bigcap_{e \in E\setminus E_{\omega}} \bar{\Omega}_{e} \right) $$
會發現恰好就是文氏圖，$2^{|E|}$裡"非空"的那一塊，於是我們可以定義集合的集合 $\mathcal{C} := \{\underset{=c}{E_{\omega}}\}$ ，而且很明顯 $\mathcal{C}$ 互斥，以及 $\forall e \in E ,  p_{e} \in  Span \bigg\{  p_{c} : c \in \mathcal{C}  \bigg\}$
其中 $p_{c} := \sum_{\omega \in  \#} p_{\omega}$ ， $ \# := \bigg\{\omega' \in \Omega :  E_{\omega'} = \underset{= c}{E_{\omega}}   \bigg\} $

[舉例]
假設隨機試驗為丟3次銅板，F為正面，T為反面，定義事件集 $ e \in E := \{ AM1T, AL1T , E1T,ALLT , ALLF , F1T, C2T \}$
以及樣本點集 $ e : \Omega_{e}$
$AM1T = At-Most-1-T  : \{FFF,TFF,FTF,FFT\}$
$AL1T =  At-Least-1-T : \{TFF,FTF,FFT,TTF,FTT,TFT,TTT\}$
$E1T = Exact-1-T : \{TFF,FFT,FTF\}$
$ALLT = All-T : \{TTT\}$
$ALLF = All-F : \{FFF\}$
$FIT = First-is-T : \{TFF,TTF,TFT,TTT\}$
$C2T = Consecutive-2-T : \{ FTT,TTF\}$

構造出 $\omega : E_{\omega}$

$FTF : \color{red}{\{AL1T,AM1T,E1T\}}$
$TFF : \{AL1T,AM1T,FIT,E1T\}$
$FFT : \color{red}{\{AL1T,AM1T,E1T\}}$
$FFF : \{ALLF,AM1T\}$
$FTT : \{C2T,AL1T\}$
$TTF : \{C2T,AL1T,FIT\}$
$TTT :\{ALLT,AL1T,FIT\}$
$TFT :\{AL1T,FIT\}$

構造出互斥事件群 !! $c :  \Omega_{c}$
$\color{red}{\{AL1T,AM1T,E1T\}} : \{FTF,FFT\}$
$ \{AL1T,AM1T,FIT,E1T\} : \{TFF\}$
$ \{ALLF,AM1T\} :  \{FFF\}$
$\{C2T,AL1T\} : \{FTT\}$
$ \{C2T,AL1T,FIT\} : \{TTF\} $
$\{ALLT,AL1T,FIT\} : \{TTT\}$
$\{AL1T,FIT\} : \{TFT\} $
其餘狀況 : $\emptyset$

[小結]
本文提供一個簡單的方法，從樣本點的對應出發，會比從事件間交集間還來的有效率。

[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2018.07