本文介紹格子點(Lattice) 幾何意義與多項式定理(Mutinomial Theorem) 的關係,並可協助我們理解計算一些機率問題。
[符號定義]
非負整數 / 非負實數: \mathbb{Z}_{\geq 0} := \{0,1,2,3,4,......\} \subseteq [0,\infty) =: \mathbb{R}_{\geq 0}
離散機率向量: p_{I} := (p_{i})_{i \in I} \text{ s.t } \sum_{i\in I}p_i =1 ,|I|<\infty
發生事件 i \in I 的累積次數向量:
k_{I} := (k_i)_{i \in I} \in \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}
\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} 就是 |I| 維格子點 !!
[格子點情境]
出發點定義為 k^{start}_{I}:= \overbrace{(0,0...,0)}^{|I|},今發生一次 p_{I} 分布隨機互斥事件,等價於"點的移動"(state transition),數學定義如下:
\text{Event } i \text{ happens } \Longleftrightarrow \overbrace{(\color{red}{k_i},k_{-i})}^{k^{old}_{I}} \underset{\text{with probability }p_{i}}{\longrightarrow} \overbrace{(\color{red}{k_i+1},k_{-i})}^{ k^{new}_{I}}
PS1: 其中 k_{-i} := (k_{i'})_{i' \in I-\{i\}}
PS2: 不管怎麼走都在第一象限,也就是只能往右,往上,往高....
當發生 n 次獨立同分布 p_{I} (iid) 的事件後,所有可能點位置在以下的集合上
S_{n}(\color{red}{\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}}) :=\bigg \{k_{I} \in \color{red}{\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}} : \sum_{i\in I} k_i = n \bigg\}
由高中經典組合數學問題: "n個相同物件分給|I|個人",可知 |S_{n}| := H^{|I|}_{n}
註: S_{n}(\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}) 在幾何意義上為超平面 S_{n}(\mathbb{R}^{|I|}_{\geq 0}) 的離散點集
[點的機率質量]
由上面的格子點情境定義,可在\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}每個點上定義 "機率質量" p(k_{I})
註: p(k_{I}) , p_{I} 意義不同,不能混淆
而且除了邊界點之外,每個點 k_{I} 都有 |I| 個舊鄰居,|I|個新鄰居,定義舊鄰居集合 {k'}_{I} \in K^{old}_{k_{I}},由加法原理可知以下遞迴關係:
p(\color{blue}{k_{I}}) := \sum_{\color{red}{k'_{I}} \in K^{old}_{\color{blue}{k_{I}}}} \underbrace{p_{\color{blue}{k_{I}},\color{red}{k'_{I}}}}_{\text{Arc Probability}} \cdot p(\color{red}{k'_{I}})
其中: \bigg( p_{\color{blue}{k_{I}},\color{red}{k'_{I}}} = p_{i} \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( k_{i} = k'_{i} + 1 \bigg)
註: 以上這個式子也可想成 Markov 轉移矩陣的味道 :)
註: 當 |I| = 2 時,以上的加法原理類似於"巴斯卡定理"
https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_rule
[多項式定理]
不失一般性令 I \equiv \{1,2,3,4,....|I|\}
若詳細推導會發現 p(k_{I}) 就是多項式定理 :D
https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem
p(k_{I}) \equiv \bigg( \begin{array}{c} n\\ k_1,k_2,...k_{|I|} \\ \end{array} \bigg) \prod_{i \in I}p_i
其中 : \sum_{i =1}^{|I|} k_{i} = n
註: 當 |I| = 2 時,以上就是二項式定理 !!
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem
[小結]
本文介紹離散機率在格子點上的幾何意義,而多項式定理(係數)存在於完整的 \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0},(邊界點外,每個格子點上都有|I| 個舊鄰居,有完整的邊有向連通性),但現實問題往往不會是完整的 \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}。如: 破產邊界條件 ... 等等,是由許多限制式把\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} 交集出來的,而是一個 Lattice \mathcal{L} \subseteq \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} ,機率遞迴層狀結構 \{p({k_{I}})\}也會完全改變(有些邊會被砍掉),但計算機率還是可以使用加法原理 !!!
[符號定義]
非負整數 / 非負實數: \mathbb{Z}_{\geq 0} := \{0,1,2,3,4,......\} \subseteq [0,\infty) =: \mathbb{R}_{\geq 0}
離散機率向量: p_{I} := (p_{i})_{i \in I} \text{ s.t } \sum_{i\in I}p_i =1 ,|I|<\infty
發生事件 i \in I 的累積次數向量:
k_{I} := (k_i)_{i \in I} \in \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}
\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} 就是 |I| 維格子點 !!
[格子點情境]
出發點定義為 k^{start}_{I}:= \overbrace{(0,0...,0)}^{|I|},今發生一次 p_{I} 分布隨機互斥事件,等價於"點的移動"(state transition),數學定義如下:
\text{Event } i \text{ happens } \Longleftrightarrow \overbrace{(\color{red}{k_i},k_{-i})}^{k^{old}_{I}} \underset{\text{with probability }p_{i}}{\longrightarrow} \overbrace{(\color{red}{k_i+1},k_{-i})}^{ k^{new}_{I}}
PS1: 其中 k_{-i} := (k_{i'})_{i' \in I-\{i\}}
PS2: 不管怎麼走都在第一象限,也就是只能往右,往上,往高....
當發生 n 次獨立同分布 p_{I} (iid) 的事件後,所有可能點位置在以下的集合上
S_{n}(\color{red}{\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}}) :=\bigg \{k_{I} \in \color{red}{\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}} : \sum_{i\in I} k_i = n \bigg\}
由高中經典組合數學問題: "n個相同物件分給|I|個人",可知 |S_{n}| := H^{|I|}_{n}
註: S_{n}(\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}) 在幾何意義上為超平面 S_{n}(\mathbb{R}^{|I|}_{\geq 0}) 的離散點集
[點的機率質量]
由上面的格子點情境定義,可在\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}每個點上定義 "機率質量" p(k_{I})
註: p(k_{I}) , p_{I} 意義不同,不能混淆
而且除了邊界點之外,每個點 k_{I} 都有 |I| 個舊鄰居,|I|個新鄰居,定義舊鄰居集合 {k'}_{I} \in K^{old}_{k_{I}},由加法原理可知以下遞迴關係:
p(\color{blue}{k_{I}}) := \sum_{\color{red}{k'_{I}} \in K^{old}_{\color{blue}{k_{I}}}} \underbrace{p_{\color{blue}{k_{I}},\color{red}{k'_{I}}}}_{\text{Arc Probability}} \cdot p(\color{red}{k'_{I}})
其中: \bigg( p_{\color{blue}{k_{I}},\color{red}{k'_{I}}} = p_{i} \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( k_{i} = k'_{i} + 1 \bigg)
註: 以上這個式子也可想成 Markov 轉移矩陣的味道 :)
註: 當 |I| = 2 時,以上的加法原理類似於"巴斯卡定理"
https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_rule
[多項式定理]
不失一般性令 I \equiv \{1,2,3,4,....|I|\}
若詳細推導會發現 p(k_{I}) 就是多項式定理 :D
https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem
p(k_{I}) \equiv \bigg( \begin{array}{c} n\\ k_1,k_2,...k_{|I|} \\ \end{array} \bigg) \prod_{i \in I}p_i
其中 : \sum_{i =1}^{|I|} k_{i} = n
註: 當 |I| = 2 時,以上就是二項式定理 !!
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem
[小結]
本文介紹離散機率在格子點上的幾何意義,而多項式定理(係數)存在於完整的 \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0},(邊界點外,每個格子點上都有|I| 個舊鄰居,有完整的邊有向連通性),但現實問題往往不會是完整的 \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}。如: 破產邊界條件 ... 等等,是由許多限制式把\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} 交集出來的,而是一個 Lattice \mathcal{L} \subseteq \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} ,機率遞迴層狀結構 \{p({k_{I}})\}也會完全改變(有些邊會被砍掉),但計算機率還是可以使用加法原理 !!!
[以上純為學術經驗交流知識分享,如有錯誤或建議可留言~~]
by Plus & Minus 2018.08
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