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About Author

這是一個關於"跨領域應用數學"的網誌，之所以取名為 Discover Forgotten Mathematics ，是因為要重新發現數學在各個工程，自然科學，社會科學扮演的角色。筆者在大學碩士博士班讀書生活約8年的時間，約4年學習純數學(Pure Mathematics)，2年學習應用數學(Applied Mathematics)，2年學習作業研究(Operation Research)，加上筆者喜歡雜學與自學，是一位數學探險家，目前重視社會科學的數學，而對於機率，統計，最佳化，演算法，數學規劃，方程類，都有極大的熱忱，於是想把視野廣度整合藉由此網誌分享給有興趣的人~~最後分享兩句話，一句話是應用數學大師 John von Neumann 的名言 "若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜 "，而另一句是筆者的想法 : " 我們不能只學簡單的數學或恐懼困難的數學，或是獨自抽象化，而該學習把困難的數學變簡單，讓更多人能夠輕易理解與體會數學的確無所不在。"


Email : mathfunction@gmail.com
by Plus & Minus 2017.08

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Nash Equilibrium & Best Responce Function (BRF) In Continuous Strategies

經濟學重要的賽局理論( Game Theory )領域，用數學描述人與人之間的理性互動，最重要的就是尋找奈許均衡( Nash equilibrium )， 本篇介紹其數學規劃與非線性方程組!!  假設有 $p$ 名玩家(player $i$)，$i=1,2,3,4,5,....p$ ， 正在玩一場遊戲(Game)~~，完全不合作，各自獨立作決策 每個人有決策向量 $x_i \in \Omega_i \subseteq R^{n_i}$ (有$n_i$個決策變數)  定義長向量: $\underbrace{x =  (x_1,x_2,x_3,....x_p)}_{\# \text{ of } \sum^{p}_{i=1}n_i \text{ variables }} \in  \prod^{p}_{i=1} \Omega_i = \Omega $ 對於每個 player $i$ ，長向量可以寫成 $x = (x_i , x_{-i})$ ，$x_{-i}$ 代表其他人(不是 player $i$) 能做的決策向量。 所有人各自作決策後，每個人都會個自的存在報酬效用函數 $f_i (x)  \in \mathbb{R} $ (報酬函數皆為公開已知資訊) 假設每位玩家是理性人(會極大化自己效用) 即 $$\forall i = 1,2,3,4....p \qquad  \underset{x_i \in \Omega_i}{\text{max }}f_i(x)  $$ [註: 如果為合作可視為多目標規劃問題( multiobjective )，即 $x_1,x_2,...x_p$ 可以由領導人一起決定] [註: 如果為合作而且把效用加總，即目標式變成 $\sum_{i=1}^{p} f_i(x)$ ，可能對集體效益有更大的幫助，但是如何分配效益給 ( player $i$ )會是個議題，可以查關鍵字 fair optimization ] 我們可以定義每個 player i 的 Best Response Function (BRF) or Best Reponce Set $S_i(x_{-i}) \subset \Omega_i$ $$  S_i(x...
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