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About Author

這是一個關於"跨領域應用數學"的網誌，之所以取名為 Discover Forgotten Mathematics ，是因為要重新發現數學在各個工程，自然科學，社會科學扮演的角色。筆者在大學碩士博士班讀書生活約8年的時間，約4年學習純數學(Pure Mathematics)，2年學習應用數學(Applied Mathematics)，2年學習作業研究(Operation Research)，加上筆者喜歡雜學與自學，是一位數學探險家，目前重視社會科學的數學，而對於機率，統計，最佳化，演算法，數學規劃，方程類，都有極大的熱忱，於是想把視野廣度整合藉由此網誌分享給有興趣的人~~最後分享兩句話，一句話是應用數學大師 John von Neumann 的名言 "若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜 "，而另一句是筆者的想法 : " 我們不能只學簡單的數學或恐懼困難的數學，或是獨自抽象化，而該學習把困難的數學變簡單，讓更多人能夠輕易理解與體會數學的確無所不在。"


Email : mathfunction@gmail.com
by Plus & Minus 2017.08

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Nash Equilibrium & Best Responce Function (BRF) In Continuous Strategies

經濟學重要的賽局理論( Game Theory )領域，用數學描述人與人之間的理性互動，最重要的就是尋找奈許均衡( Nash equilibrium )， 本篇介紹其數學規劃與非線性方程組!!  假設有 $p$ 名玩家(player $i$)，$i=1,2,3,4,5,....p$ ， 正在玩一場遊戲(Game)~~，完全不合作，各自獨立作決策 每個人有決策向量 $x_i \in \Omega_i \subseteq R^{n_i}$ (有$n_i$個決策變數)  定義長向量: $\underbrace{x =  (x_1,x_2,x_3,....x_p)}_{\# \text{ of } \sum^{p}_{i=1}n_i \text{ variables }} \in  \prod^{p}_{i=1} \Omega_i = \Omega $ 對於每個 player $i$ ，長向量可以寫成 $x = (x_i , x_{-i})$ ，$x_{-i}$ 代表其他人(不是 player $i$) 能做的決策向量。 所有人各自作決策後，每個人都會個自的存在報酬效用函數 $f_i (x)  \in \mathbb{R} $ (報酬函數皆為公開已知資訊) 假設每位玩家是理性人(會極大化自己效用) 即 $$\forall i = 1,2,3,4....p \qquad  \underset{x_i \in \Omega_i}{\text{max }}f_i(x)  $$ [註: 如果為合作可視為多目標規劃問題( multiobjective )，即 $x_1,x_2,...x_p$ 可以由領導人一起決定] [註: 如果為合作而且把效用加總，即目標式變成 $\sum_{i=1}^{p} f_i(x)$ ，可能對集體效益有更大的幫助，但是如何分配效益給 ( player $i$ )會是個議題，可以查關鍵字 fair optimization ] 我們可以定義每個 player i 的 Best Response Function (BRF) or Best Reponce Set $S_i(x_{-i}) \subset \Omega_i$ $$  S_i(x...
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Lattice & Multinomial Theorem

本文介紹格子點(Lattice) 幾何意義與多項式定理(Mutinomial Theorem) 的關係，並可協助我們理解計算一些機率問題。 [符號定義] 非負整數 / 非負實數:  $\mathbb{Z}_{\geq 0} := \{0,1,2,3,4,......\}  \subseteq [0,\infty) =: \mathbb{R}_{\geq 0}$ 離散機率向量:  $$p_{I} := (p_{i})_{i \in I} \text{ s.t } \sum_{i\in I}p_i =1 ，|I|<\infty  $$ 發生事件 $i \in I$ 的累積次數向量: $$ k_{I} := (k_i)_{i \in I} \in \mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0} $$ $\mathbb{Z}^{|I|}_{\geq 0}$ 就是 $|I|$ 維格子點 !! [格子點情境] 出發點定義為 $k^{start}_{I}:= \overbrace{(0,0...,0)}^{|I|}$，今發生一次 $p_{I}$ 分布隨機互斥事件，等價於"點的移動"(state transition)，數學定義如下: $$  \text{Event } i  \text{ happens }  \Longleftrightarrow  \overbrace{(\color{red}{k_i},k_{-i})}^{k^{old}_{I}}  \underset{\text{with probability }p_{i}}{\longrightarrow}   \overbrace{(\color{red}{k_i+1},k_{-i})}^{ k^{new}_{I}}    $$ PS1: 其中  $k_{-i} := (k_{i'})_{i' \in I-\{i\}}$ PS2: 不管怎麼走都在第一象限，也就是只能往右，往上，往高.... 當發生 $n$ 次獨立同分布 $p_{I}$ (iid) 的事件後，所有可能點位置在以下的集合上 $$  S_{n}(\col...
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Chain Rule & Identity Function Trick

本文為筆者學習微積分，函數概念與Chain Rule 的時候，遇到的一些概念大坑。本文一一澄清一些個人看法，並分享 Chain Rule 廣義的樣子，以及對於遞迴系統該如何計算...等等看法。 [坑1 : 變數/值符號的認識] 一切從 $y = f(x)$ 開始，我們習慣把 Input 變數用"括號"刮起來，Output y 代表值，f 代表函數。或是可以想成這樣:   $$ x \overset{f}{\longrightarrow} y $$ 這種表示法概念上很嚴謹，但缺點是你必須要用三個符號 $x$，$y$，$f$ 而在微分方程領域出現這種寫法 $y = y(x)$  (把 $f$ 換成 $y$) ，這種寫法就頗簡潔，Chain Rule 通常都是這類表示法。缺點是心裡要能確實明白在哪個場合 $y$ 到底是給定的"值"還是"函數"(註: 通常大多代表函數 $y$，值的話通常會這樣寫 $y(x_{0})$,$y_{0}$) ============================================================== [Bonus] $y=y(x)$這種表示法還有一個好處，如果允許 $f$ 是一對多，那麼 $y(x)$ 就是 $y \text{ is depend on } x$ 的意思，如果你喜歡用集合論來表示可以先定義$f$ 的定義域/對應域 $$ f : X \rightarrow Y$$ 然後 $y(x)$ 可以寫成這樣 $y \in Y_{x}$，其中值域為 $$ f(X):=\bigcup_{x \in X}Y_{x} \subseteq Y$$ ============================================================== [坑2 : Input 的變數到底是哪些] 這邊舉兩個例子提醒： (Ex1) 代換法會重新改變函數的 Input 例如 : $y = f(x) = x+1$ , $ z = g(y) = 2y$ 　可以代換一下，寫成 $z = g[f(x)] = 2(x+1)$ 如果你用簡記你會發現　$y(x) , z(y) , z(y(x)) \equiv z...
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