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About Author

這是一個關於"跨領域應用數學"的網誌，之所以取名為 Discover Forgotten Mathematics ，是因為要重新發現數學在各個工程，自然科學，社會科學扮演的角色。筆者在大學碩士博士班讀書生活約8年的時間，約4年學習純數學(Pure Mathematics)，2年學習應用數學(Applied Mathematics)，2年學習作業研究(Operation Research)，加上筆者喜歡雜學與自學，是一位數學探險家，目前重視社會科學的數學，而對於機率，統計，最佳化，演算法，數學規劃，方程類，都有極大的熱忱，於是想把視野廣度整合藉由此網誌分享給有興趣的人~~最後分享兩句話，一句話是應用數學大師 John von Neumann 的名言 "若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜 "，而另一句是筆者的想法 : " 我們不能只學簡單的數學或恐懼困難的數學，或是獨自抽象化，而該學習把困難的數學變簡單，讓更多人能夠輕易理解與體會數學的確無所不在。"


Email : mathfunction@gmail.com
by Plus & Minus 2017.08

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Chain Rule & Identity Function Trick

本文為筆者學習微積分，函數概念與Chain Rule 的時候，遇到的一些概念大坑。本文一一澄清一些個人看法，並分享 Chain Rule 廣義的樣子，以及對於遞迴系統該如何計算...等等看法。 [坑1 : 變數/值符號的認識] 一切從 $y = f(x)$ 開始，我們習慣把 Input 變數用"括號"刮起來，Output y 代表值，f 代表函數。或是可以想成這樣:   $$ x \overset{f}{\longrightarrow} y $$ 這種表示法概念上很嚴謹，但缺點是你必須要用三個符號 $x$，$y$，$f$ 而在微分方程領域出現這種寫法 $y = y(x)$  (把 $f$ 換成 $y$) ，這種寫法就頗簡潔，Chain Rule 通常都是這類表示法。缺點是心裡要能確實明白在哪個場合 $y$ 到底是給定的"值"還是"函數"(註: 通常大多代表函數 $y$，值的話通常會這樣寫 $y(x_{0})$,$y_{0}$) ============================================================== [Bonus] $y=y(x)$這種表示法還有一個好處，如果允許 $f$ 是一對多，那麼 $y(x)$ 就是 $y \text{ is depend on } x$ 的意思，如果你喜歡用集合論來表示可以先定義$f$ 的定義域/對應域 $$ f : X \rightarrow Y$$ 然後 $y(x)$ 可以寫成這樣 $y \in Y_{x}$，其中值域為 $$ f(X):=\bigcup_{x \in X}Y_{x} \subseteq Y$$ ============================================================== [坑2 : Input 的變數到底是哪些] 這邊舉兩個例子提醒： (Ex1) 代換法會重新改變函數的 Input 例如 : $y = f(x) = x+1$ , $ z = g(y) = 2y$ 　可以代換一下，寫成 $z = g[f(x)] = 2(x+1)$ 如果你用簡記你會發現　$y(x) , z(y) , z(y(x)) \equiv z...
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General Solution Of Eigen System In Linear Algebra

本文從淺白的角度回顧線性代數( Linear Algebra )，了解特徵值( eigenvalue )，特徵向量( eigenvector )，還有特徵多項式( Characteristic Polynomial ) 的框架，並推廣其概念，還有它在解差分方程式，微分方程式，差分方程組，微分方程組的關係。 ----------------------------------------------------------- [預備知識]    向量空間( vector space ) $V$，field over $\mathbb{C}$ ，線性獨立( linear independent )， Span ， Basis 等概念。 線性函數的定義為 $L : V \longrightarrow V$ ， $$\forall \alpha , \beta  \in \mathbb{C} , v_1 ,v_2 \in V \quad L(\alpha v_1 + \beta v_2) =\alpha L(v_1) + \beta L(v_2) $$ 其中 $L(0) = 0 \in V$ 其中 $+$ 都是$V$裡的加法，線性函數空間記做 $L \in \mathcal{L}^{V}$ 其中存在 $O \in \mathcal{L}^{V}$ 零函數 $O(V) = \{0\}$ ，即 $\forall v \in V ,  O(v) = 0 \in V $ 其中存在 $I \in \mathcal{L}^{V}$ 送到自己函數 ，即 $\forall v \in V ,  I(v) = v \in V $ ----------------------------------------------------------- [主要動機] 給定 $b \in V$ ,  $L \in \mathcal{L}^{V}$ 如何解線性系統 $L(x) = b$ ，換句話說就是構造出 $$ S_{b}:= \left\{x \in V : L(x) = b  \right\} $$ ，而 $Ker(L) := S_{0}$ ( Kernel ) 註: 構造出...
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All Different Expansion & Bell Numbers

本文分享筆者在計算排列組合(combinatorics)時，發現並描述系統性的窮舉公式 :) 暫時命名為 $\color{red}{\text{All Different Expansion }}$ ??  (有歷史文獻名詞歡迎筆者補充) [情境/動機] 假設箱子裡面有很多種物品，種類集記做 $I$ , 每種物品 $i$ 各有 $\#_i$ 個，向量記做 $\#_{I} := (\#_{i})_{i \in I}$ $$\text{箱子裡共有 } \sum_{i \in I} \#_i  \text{ 個物品}$$    令 $T := \{1,2,3,....|T|\}$，今從箱子裡"逐一"抽取物品共 $|T|$ 次 (抽出 $|T|$ 個物品) ============================================================= $$\color{blue}{\text{形成序列 : } x_{T} := (x_{t})^{|T|}_{t=1} \in I^{|T|}} $$ 註: $x_{t}$ 代表第 $t$ 次抽到的物品 ============================================================= 以下舉個小小的例子，來說明動機~ $I := \{a,b,c,d\}$，$|T| = 4 $，且假設物品個數無上限  $\color{red}{ \forall i \in I \quad \#_{i} = \infty}$ 於是我們可以開始窮舉(brute & force)情況 ~~ $\color{green}{(1)}$  $aaaa$，$bbbb$，$cccc$，$dddd$ 代表全同的情況 $\color{green}{(2)}$  $abcd$，$bcda$，$acbd$，....  代表全異的情況，共 $4!$種 $\color{green}{(3)}$  $abad$，$cbcd$，$bcba$，....  代表二同二異(且$x_{1}=x_{3}$) $\color{green}{(4)...
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