本文是記錄一些使用集合論語言，表達路徑(Path)/線段(Undirected Arc) 組成的關係: 令所有的路徑集為 $p \in P$，所有的線段集 $a \in A$ 路徑是由許多線段(無方向性)所組成的，自然存在對應關係 $E \subseteq P\times A$，可使用圖論二分圖描述 $G(P\cup A,E)$ 可以定義相依集：$$P_{a}:=\{p\in P : (p,a)\in E \},A_{p}:= \{a\in A :(p,a) \in E \}$$  並且滿足以下自然對偶邏輯(Natural Dual Correspondence) $$ \bigwedge_{(p,a)\in P\times A} \left( p \in P_a  \Longleftrightarrow a \in A_{p}  \right)   $$ 如果$X_a$為線段長，則很明顯路徑長可寫為 $$\bigwedge_{p \in P}\left( X_{p}:= X(A_p) = \sum_{a\in A_p} X_{a} \right)$$ 路徑長公式可以寫成線性系統　$$ X_{P} := M_{P\times A} X_{A} $$ (其中$X_P$,$X_{A}$ 為向量，$M_{P\times A}$ 為 $0-1$ adjacency sparse  matrix) 由線性系統可以求出反矩陣，而導出 $X_{A}= M^{-1}_{P\times A}X_{P} $) 定義 $p$ 損壞必定影響的路徑集 $$ \bigwedge_{p\in P}\left( P^{\cap}_{p}:= \bigcap_{a\in A_{p}} P_{a} \right) $$ 代表只要路徑 $p$ 斷了，則所有路徑 $p' \in P^{\cap}_{p}$ 也必定會斷，($p$是$p'$的一部分)  $$ \bigwedge_{p \in P}\bigwedge_{p' \in P^{\cap}_{p}} \left(A_{p} \subseteq A_{p'}\right)$$ 定義 $p$ 損壞可能影響的路徑集 $$ \bigwedge_{p \

本文為分析電玩裡常見的期望值小問題: ================================================== 如果有 $n$ 個庫存物/道具。每使用 $1$ 次庫存物/道具時，有 $p \in [0,1]$ 的機率不會消耗這次使用，那麼平均而言總共可以使用幾次 ??  有多少扣達(quota) ?? (假設每次使用的機率機制相同，獨立同分布，Bernoulli 試驗) ================================================== 首先先定義隨機變數 $T$ ，代表總共只可以使用了 $T$ 次，而以 $t$ 表示隨機變數的"取值"，根據生活經驗很明顯 $t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}} = \{n,n+1,n+2,.....\}$  定義當 $T = t$ (當隨機變數 $T$ 取值為 $t$) 的機率為 $$ P_t := Pr(T=t)  $$ 則本文目標為計算期望值: $$ E[T] =  (\text{可能次數} \times \text{對應的機率}) \text{的總和} $$ $$ = \sum_{t \in [n,\infty)_{\mathbb{Z}}} t \cdot Pr(T=t) = \sum^{\infty}_{t = n} t \cdot P_{t} = \underbrace{ \lim_{N \rightarrow \infty} \left(\sum^{N}_{t = n} t \cdot P_{t}\right) }_{\text{嚴謹寫法}}$$ 而機率計算如下: $$ P_{t}= \overbrace{\left[ \underset{\text{不盡相異物直線排列數}}{\left( \begin{array}{c} t-1 \\ n-1 \\ \end{array} \right)} p^{t-n} (1-p)^{n-1} \right]}^{\text{前 $t-1$ 次，共消耗了 $n-1$ 個道具，得到了$t-n$ 次再使用機會}} \cdot \overbrace{(1-p)}^{\text{最後 1 次 消耗了 1 個道具 }}

本文為紀錄簡易博弈模型，若滿足有交集則彩金"疊加性"，則傳統期望值可推廣到非互斥事件上。 給定 開獎結果(樣本空間) $\Omega$ ，投注項目集 $B$ ， 投注項目 $b$所對應的開獎結果集 $\Omega_{b}$ $$ \bigwedge_{b \in B}\left(\Omega_{b} \subset \Omega\right)$$ 以及定義 $\Omega_{b}$補集: $$\displaystyle{\bigwedge_{b \in B} \left( \bar{\Omega}_{b}:= \Omega \setminus \Omega_{b} \right) }$$ 機率公設與 $\Omega_{b}$ 定義計算如下: $$\displaystyle{ \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1} $$ $$\displaystyle{\bigwedge_{b \in B} \left( P(\Omega_{b}) := \sum_{\omega \in \Omega_{b}} P(\omega) \right)} $$ 描述文氏圖互斥分割集概念如下: $$\displaystyle{\Omega = \bigcup^{\text{disjoint}}_{S \subseteq B} \left(\bigcap_{b \in S}\Omega_{b} \cap \bigcap_{b \in B\setminus S} \bar{\Omega}_{b}\right)  }$$ 開獎機制如下: 假定 開獎結果 $\omega$，投注$b$ 項目中獎可獲得彩金 $c^{bingo}_{b}$ 元，槓龜獲得彩金 $c^{turtle}_{b}$ 元 $$\displaystyle{\bigwedge_{(b,\omega) \in B\times \Omega}\left\{\begin{array}{l}\omega \in \Omega_{b} \Longleftrightarrow \text{得到 } c^{bingo}_{b}\\ \omega \not\in \Omega_{b} \Longleftrightarrow  \text{