Expectation In Gambling Model With Free Game

本文介紹如何推導機率博弈遊戲(Gambling Model)，含集點卡免費遊戲機制，並統整期望值
[預備知識]
需要先了解機率母函數的概念，詳細可先看這篇:
http://discoverforgottenmath.blogspot.com/2018/08/expected-ratio-of-n-trials-probability.html
定義新名詞"項值" 代表　${\text{Variable}}^{\text{Value}}$
[基本遊戲]
假設單局，玩$k$ 張卡(物件)，令樣本元/空間為 $\omega \in \Omega_{k}$，回報項值記為 $x^{Gain_k(\omega)}$，付出項值記為 $y^{Paid_k(\omega)}$，而基本遊戲機率母函數可寫為
$$f_{k}(x,y):= \left(  \sum_{\omega \in \Omega_{k}} p_{\omega} x^{Gain_k(\omega)}y^{Paid_k(\omega)}    \right)$$
註: 如果每張卡付出值＋回報值皆為獨立則　 $$f_k(x,y) =  \left(  \sum_{\omega \in \Omega_{1}} p_{\omega} x^{Gain_1(\omega)}y^{Paid_1(\omega)}    \right)^{k}$$

[集點機制]
當結束一局遊戲，玩 $k$ 張卡，可以有機率 $p_{b}$ 集一些點數，項值記為 $z^{Bonus(b)}$，集點機率母函數可寫為　 $$g_{k}(z) = \sum_{b \in B_k} p_{b} z^{Bonus(b)}$$

[兌獎拉霸]
集滿 $\# \in \mathbb{N}$ 點數後，自動立即消費 $\#$點數，產生拉霸遊戲，有 $p_{j}$ 的機率可以直接獲得獎金，項值記為 $x^{\text{Jackpot}(j)}$ ，而剩下的機率，分別有機率　$p_{k}$　可以參與　$k$　張卡免費遊戲，並且免費遊戲可以有集點機制!!
註: $$\sum_{j \in J}p_{j} + \sum_{k \in K} p_{k} = 1$$
兌獎拉霸機制的機率母函數限制式，可寫為
$$z^{\#} =  \sum_{j\in J}p_{j}x^{\text{Jackpot(j)}} + \sum_{k \in K}p_{k} \cdot \overset{\text{免費}}{f_k(x,1)} \cdot \overset{\text{再集點}}{g_k(z)}$$
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註1: 以上式子存在隱函數　$z = z(x)$ ，且令 $\Delta := z(1)$ ，$\delta := \frac{dz}{dx}(1)$ ，並且可推導出 $\Delta = 1$
註2: 以上式子兩邊對 $x$ 隱函數微分且代入 $x=1$ , $\Delta =  z(1) =1$　可得
$$\#  \cdot  \delta =  \left(\sum_{j \in J} p_{j} \text{Jackpot}(j)\right) + \sum_{k \in K}p_{k}\left( \left.\frac{d}{dx}f_{k}(x,1)\right|_{x=1}+ \sum_{b \in B_k}p_{b}Bonus(b) \cdot \delta \right)$$
解一元一次方程式可得　 $$\color{red}{\delta = \frac{\displaystyle{\left[ \sum_{j \in J} p_{j} \text{Jackpot}(j) + \sum_{k \in K}p_{k} \left( \sum_{\omega \in \Omega_k} p_{\omega} Gain_k(\omega)\right) \right]}}{\displaystyle{\# - \sum_{k\in K}p_k \sum_{b \in B_k} p_{b} Bonus(b)} } }$$

其中單局期望回報值:  $\displaystyle{\left.\frac{d}{dx}f_k(x,1)\right|_{x=1} = \sum_{\omega \in \Omega_k} p_{\omega} Gain_k(\omega)}$
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[獨立同分布$n$ 局 $k$張公式]
$$\text{機率母函數 : } \bigg[f_k(x,y)g_k(z)\bigg]^n$$
$$\text{期望回報值 : }   \left.\frac{d}{dx}\bigg[f_k(x,1) \cdot g_k(z(x))\bigg]^{n}\right|_{x=1}$$
$$\text{期望付出值:  }  \left.\frac{d}{dy}\bigg[f_k(1,y) \cdot g_k(\underset{=1}{z(1)})\bigg]^{n}\right|_{y=1}$$
$$\text{期望淨收入 =  期望回報值 - 期望付出值}$$

$\text{期望回報率(RTP) : }$
$$\color{red}{=    n \int_{y \in (0,1]} \frac{1}{y} \left( \sum_{\omega \in \Omega_k} p_{\omega}y^{Paid(\omega)} \right)^{n-1} \left[ \sum_{\omega \in \Omega_{k}} p_{\omega} Gain(\omega) y^{Paid(\omega)}+\underbrace{\left( \sum_{\omega \in \Omega_k} p_{\omega}y^{Paid(\omega)}\right) \cdot  \left( \sum_{b \in B_k} p_{b} Bonus(b)\right) \cdot \delta}_{\text{集點＋拉霸機制}}  \right] }$$
註:推導方法與預備知識文章類似

[小結]
本文發現，機率母函數結合多項式限制式與隱函數微分的巧妙利用，可以求得集點卡兌換免費遊戲的期望值，開拓多項式應用的領域 !! 實際應用上，窮舉 $\Omega_{k} \subseteq \prod_{i=1}^{k} \Omega_{1}$ 是困難的(往往 $|\Omega_k|$ 過大) 如何不窮舉近似，而精確計算想要的母體參數量，也是日後研究的重點

[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2018.08