Expected Ratio of n trials & Probability Generating Function

本文介紹如何利用機率母函數(Probability Generating Function) 推導  $\color{red}{獨立n 局期望比例(投資報酬率)的解析式}$，相關概念與延伸問題

[機率情境]
現實生活中，往往是有付出($Paid$) 可能會有回報($Gain$)。
設樣本元/空間記做 $\omega \in \Omega$，$|\Omega|<\infty$，單局發生機率為 $p_{\omega}$ 此時會有產生成對樣本 $(Gain(\omega),Paid(\omega))$。
代表有 $\color{red}{p_{\omega}}$ 機率，你會先付出$\color{blue}{Paid(\omega)} \neq 0$ 元，而最後會回收 $\color{blue}{Gain(\omega)}$ 元 ，當局淨收入為 $Gain(\omega)-Paid(\omega)$，單局投資報酬率為 $\frac{Gain(\omega)}{Paid(\omega)}$
而單局期望投資報酬率為 $$\sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega}\left(\frac{Gain(\omega)}{Paid(\omega)}\right) =:  E\left[\frac{X_i}{Y_i}\right]$$
其中 $(X_i, Y_i)$ 為隨機變數序對 : (回收值，付出值) $$(X_i,Y_i) \overset{iid}{\in} \bigg\{(Gain(\omega),Paid(\omega))  \bigg\}_{p_{\Omega}=(p_{\omega})}$$

[$n$局期望比例(投資報酬率)]
然而往往會參與 $n$ 局，投資報酬率(隨機變數)為 $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}$ ，目標是如何計算出 $E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right]$  ??，很明顯即使每局是獨立同分布，一般情況下， $$E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right] \neq E\left[\frac{X_i}{Y_i}\right]$$

[機率母函數]
以上問題可以從另一個角度切入，首先考慮以下二元多項式 $$f(x,y) := \sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega} x^{Gain(\omega)}y^{Paid(\omega)}$$
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多項式意義:
其中每一項 $x$ 的指數部分代表回收值$Gain(\omega)$， $y$ 的指數部分代表付出值$Paid(\omega)$，"係數(coefficient)"代表機率，"多項式乘法"代表邏輯 and ，"多項式加法" 代表邏輯互斥 or  ，而且 $f(1,1) = 1 = \sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega}$ 代表機率和為 1 ，$f(x,y)$ 的每一項相當於描述了以上的機率情境
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參與獨立 $n$ 局的機率母函數相當於  $$[f(x,y)]^n =  {\left[\sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega} x^{Gain(\omega)}y^{Paid(\omega)}\right]}^{n}$$
雖然現實往往項數 $m \approx |\Omega|^{n}$ 過多(即使是電腦)也無法短時間完全展開，但理想狀況應該會長的像以下那樣

$$[f(x,y)]^{n} =  \overbrace{ (p_{1} x^{Gain_1}y^{Paid_1} ) + .... +  ( p_{m} x^{Gain_m}y^{Paid_m} ) }^{\text{天文項數}}$$

所求如以下的式子:
$$\color{red}{E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right] =  \sum_{i=1}^{m} p_{i}\left(\frac{Gain_{i}}{Paid_{i}}\right)}$$
註: 這裡的 $p_{i}$ 跟 $p_{\omega}$ 意義不同，勿混淆

[微積分操作妙用]
仔細觀察$[f(x,y)]^{n}$ 的每個單項，也就是$(p_{i} x^{Gain_i}y^{Paid_i})$，碰巧先對它對 $x$ 偏微分，除 $y$ 後再對 $y$ 偏不定積分，會變成以下的樣子

$$p_i \bigg( \underbrace{Gain_i \cdot  x^{Gain_i-1}}_{\text{對 $x$ 偏微效果}} \cdot  \overbrace{ \frac{y^{(Paid_i-1) +1} }{(Paid_{i}-1) +1}  + C(x)}^{\text{先除 $y$ 再對 $y$ 偏不定積分}} \bigg)$$

這時取 $x=1$ ，$y \in [0,1]$ 定積分，如果 $Paid_{i} \neq 0$ ，會發現單項變成 $p_{i} \cdot \left(\frac{Gain_{i}}{Paid_{i}}\right)$ 就是我們要的~
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$\color{blue}{背後精神:  微分可以把指數丟到係數的分子部分，不定積分可以把指數丟到係數的分母部分}$
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所以所求可以寫成
$$E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right] = \int_{y \in (0,1]}\frac{1}{y} \left. \frac{\partial}{\partial x} [f(x,y)]^n \right|_{x=1}$$
$\color{purple} {此時 \text{Chain Rule} 大招登場 !!，可以不用真的把多元多項式天文展開就可以求值了 }$
  $$\frac{\partial}{\partial x}  [f(x,y)]^n  =   n [f(x,y)]^{n-1}  \frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$$

最後就得到"獨立n 局期望比例(投資報酬率)的解析式"

$$\color{red} { E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right] =  n \int_{y\in (0,1]}   \left( \sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega} y^{Paid(\omega)}   \right)^{n-1}  \left(\sum_{\omega \in \Omega} p_{\omega} \cdot Gain(\omega) \cdot y^{Paid(\omega)-1} \right) } =\text{定積分 $ \int_{0}^{1}g(y)dy $ 問題}$$

此時就可以使用黎曼積分/數值積分(Numerical Integration)演算法群，馬上估算出精確值 :)
[小統計應用]
如果夠多的人參與此機率情境，而且都玩 $n$ 局，根據大數法則，投資報酬率的平均為所求 !!


[延伸問題]
有兩個問題，由於筆者不確定是否正確，留給讀者幫忙尋找真相，若有想法/證明也歡迎留言來信。
(1) 當 $n \rightarrow \infty$ 是否一定存在極限 ??
(2) 若有極限是否一定等於"單局期望回報值"除以"單局期望付出值" ?? $$\lim_{n \rightarrow \infty } E\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{\sum_{i=1}^{n}Y_i}\right] \color{red}{\overset{?}{=}} \frac{\sum_{\omega} p_{\omega} Gain(\omega) }{\sum_{\omega} p_{\omega} Paid(\omega)} = \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty}E[\bar{X}]}{ \lim_{n \rightarrow \infty} E[\bar{Y}]} = \frac{E[X]}{E[Y]}$$

$$\color{red}{\text{**Warning**}  筆者的不負責直覺概念是 (1) 存在，(2) 不相等!! }$$



[小結]
利用機率母函數計算期望值發現，多元多項式的"指數"用途並非只是拿來當作取值次方使用，而是可以拿來當作"計數"，雖然項數很多不切實際，但往往是容易讓人理解的方法，而配合微積分的操作，恰好有機會可以捕捉一些我們想計算的值 !!

[以上純為學術經驗交流知識分享，如有錯誤或建議可留言~~] 

by Plus & Minus 2018.08